Дано: вероятность попадания в цель при одном выстреле $p = 0.6$.
Требуется найти: наименьшее количество патронов, необходимых для того, чтобы стрелок поразил цель с вероятностью не менее $0.95$.
Пусть $X$ - количество попаданий стрелка в цель после $n$ выстрелов. Так как вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет $0.6$, то $X$ распределена по биномиальному закону.
Известно, что стрелок поражает цель, если количество попаданий $X \geq k$ (где $k$ - искомое количество патронов) при вероятности попадания в цель $p = 0.6$.
Мы ищем наименьшее количество патронов $k$, которое обеспечит вероятность поражения цели не менее $0.95$. То есть:
$$ P(X \geq k) \geq 0.95 $$
Чтобы посчитать такую вероятность $P(X \geq k)$, мы можем использовать дополнение вероятности: $P(X \geq k) = 1 - P(X < k)$.
Таким образом, вероятность $P(X < k)$ соответствует сумме вероятностей для каждого $i < k$: $P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k-1)$. Для биномиального распределения это можно представить в виде:
$$ P(X < k) = \sum_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} $$
Итак, для каждого $k$ найдем соответствующую вероятность $P(X \geq k)$, пока эта вероятность не станет больше или равной $0.95$.
Если вычисление формулы для различных значений $k$ вручную сложно, можно воспользоваться программой для расчетов или табличными значениями биномиального распределения.
Решением данной задачи будет наименьшее количество патронов, для которых вероятность поражения цели составляет не менее $0.95$.
