Дано: функция ( y = (x + 5)^2(x + 1) + 4 )
Мы должны найти наибольшее значение этой функции на отрезке ([-6; -3]).
Для начала найдем производную данной функции:
[ y = (x + 5)^2(x + 1) + 4 ]
[ y' = 2(x + 5)(x + 1) + (x + 5)^2 ]
[ y' = 2(x^2 + 6x + 5) + (x^2 + 10x + 25) ]
[ y' = 2x^2 + 12x + 10 + x^2 + 10x + 25 ]
[ y' = 3x^2 + 22x + 35 ]
Теперь нам нужно найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:
[ 0 = 3x^2 + 22x + 35 ]
Факторизуем или найдем корни квадратного уравнения:
[ 3x^2 + 22x + 35 = 0 ]
[ (3x + 7)(x + 5) = 0 ]
[ x = -\frac{7}{3} ] или ( x = -5 )
На отрезке [-6; -3] у нас две критические точки: ( x = -\frac{7}{3} ) и ( x = -5 ). Осталось проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее значение функции.
Подставим значения x в функцию y:
При ( x = -6 ):
[ y(-6) = (-6 + 5)^2(-6 + 1) + 4 = 1 \cdot (-5) + 4 = -1 ]
При ( x = -3 ):
[ y(-3) = (-3 + 5)^2(-3 + 1) + 4 = 4 \cdot (-2) + 4 = -4 ]
При ( x = -\frac{7}{3} ):
Рассчитываем значение функции ( y(-\frac{7}{3}) = (-\frac{7}{3} + 5)^2(-\frac{7}{3} + 1) + 4 )
При ( x = -5 ):
Рассчитываем значение функции ( y(-5) = (-5 + 5)^2(-5 + 1) + 4 )
Сравниваем полученные значения и определяем наибольшее значение функции y на отрезке [-6; -3].
