найдите наибольшее значение функции y=(x+5)^2(x+1)+4 на отрезке [-6;-3]

Дано: функция \( y = (x + 5)^2(x + 1) + 4 \)

Мы должны найти наибольшее значение этой функции на отрезке \([-6; -3]\).

Для начала найдем производную данной функции:

\[ y = (x + 5)^2(x + 1) + 4 \]

\[ y' = 2(x + 5)(x + 1) + (x + 5)^2 \]

\[ y' = 2(x^2 + 6x + 5) + (x^2 + 10x + 25) \]

\[ y' = 2x^2 + 12x + 10 + x^2 + 10x + 25 \]

\[ y' = 3x^2 + 22x + 35 \]

Теперь нам нужно найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

\[ 0 = 3x^2 + 22x + 35 \]

Факторизуем или найдем корни квадратного уравнения:

\[ 3x^2 + 22x + 35 = 0 \]

\[ (3x + 7)(x + 5) = 0 \]

\[ x = -\frac{7}{3} \] или \( x = -5 \)

На отрезке [-6; -3] у нас две критические точки: \( x = -\frac{7}{3} \) и \( x = -5 \). Осталось проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее значение функции.

Подставим значения x в функцию y:

• При \( x = -6 \): \[ y(-6) = (-6 + 5)^2(-6 + 1) + 4 = 1 \cdot (-5) + 4 = -1 \]

• При \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3 + 5)^2(-3 + 1) + 4 = 4 \cdot (-2) + 4 = -4 \]

• При \( x = -\frac{7}{3} \): Рассчитываем значение функции \( y(-\frac{7}{3}) = (-\frac{7}{3} + 5)^2(-\frac{7}{3} + 1) + 4 \)

• При \( x = -5 \): Рассчитываем значение функции \( y(-5) = (-5 + 5)^2(-5 + 1) + 4 \)

Сравниваем полученные значения и определяем наибольшее значение функции y на отрезке [-6; -3].