Для решения этой задачи используем формулу для нахождения средней квадратичной скорости молекул газа:
[ v_{ср} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} ]
где:
( v_{ср} ) - средняя квадратичная скорость молекул газа,
( R ) - универсальная газовая постоянная (( 8.31 , Дж/моль \cdot K )),
( T ) - температура в Кельвинах,
( M ) - молярная масса газа в кг/моль.
Также, известно, что различие между средней квадратичной скоростью и наиболее вероятной скоростью молекул составляет 111 м/c.
Для удобства преобразуем данное условие:
[ v_{ср} = v_{наиб.} + 111 ]
Теперь подставим данное условие в формулу:
[ v_{наиб.} + 111 = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} ]
[ v_{наиб.} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} - 111 ]
Далее рассмотрим формулу для нахождения наиболее вероятной скорости молекул газа:
[ v_{наиб.} = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}} ]
Теперь подставляем эту формулу в предыдущее уравнение и получаем:
[ \sqrt{\dfrac{2RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} - 111 ]
[ \dfrac{2RT}{M} = \left(\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} - 111\right)^2 ]
[ 2RT = M\left(\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} - 111\right)^2 ]
[ 2RT = 3RT - 222\sqrt{3RTM} + 12321M ]
[ 0 = RT - 222\sqrt{3RM} + 621M ]
Теперь мы можем найти температуру разреженного газа, подставив известные значения молярной массы (( M = 0.028 , кг/моль )) и разность между средней квадратичной и наиболее вероятной скоростью (( 111 , м/c )):
[ 0 = 8.31T - 222\sqrt{3 \cdot 8.31 \cdot 0.028} + 621 \cdot 0.028 ]
[ 0 = 8.31T - 222\sqrt{0.0702} + 17.388 ]
[ 222\sqrt{0.0702} = 8.31T + 17.388 ]
[ 222 \cdot 0.265 = 8.31T + 17.388 ]
[ 58.83 = 8.31T + 17.388 ]
[ 8.31T = 58.83 - 17.388 ]
[ 8.31T = 41.442 ]
[ T = \dfrac{41.442}{8.31} ]
[ T \approx 4.99 , K ]
Итак, температура разреженного газа в закрытом резервуаре составляет приблизительно 5 K (килокельвина).
