Реши
Конечно, давайте разберем задачи одну за другой.
Задача 7
Условие: На координатной прямой отмечено число \( c \). Расположите в порядке убывания числа \( c \), \( c^2 \) и \(\frac{1}{c}\).
Рассмотрим возможности для области значений \( c \).
Если \( c > 1 \):
- \( c^2 > c \) (потому что при умножении числа больше 1 результат больше).
- \(\frac{1}{c} < 1\) (потому что обратная дробь от числа больше 1 меньше 1).
- Порядок в убывании: \( c^2 > c > \frac{1}{c} \).
Если \( 0 < c < 1 \):
- \( c^2 < c \) (потому что возведение в квадрат дроби между 0 и 1 уменьшает её).
- \(\frac{1}{c} > 1\) (потому что обратная дробь от числа между 0 и 1 больше 1).
- Порядок в убывании: \(\frac{1}{c} > c > c^2\).
Если \( c = 1 \):
- Порядок: \( c = c^2 = \frac{1}{c} \).
Если \( c < 0 \):
Рассмотрим по отдельности случаи для \( c < -1 \) и \(-1 < c < 0 \).
Если \( c < -1 \):
- \( c^2 > 1\)
- \(\frac{1}{c} < 0\) (и \(\frac{1}{c} > c\), потому что обратная дробь от отрицательного числа ближе к 0).
- Порядок в убывании: \( c^2 > \frac{1}{c} > c \).
Если \(-1 < c < 0\):
- \( c^2 < 1\)
- \(\frac{1}{c} < 0\) (и \(\frac{1}{c} < c\), потому что обратная дробь от числа между -1 и 0 меньше самого числа).
- Порядок в убывании: \( c^2 > c > \frac{1}{c} \).
Глядя на рисунок, \( c \) находится между -1 и 0, поэтому решением задачи будет: \( c^2 > c > \frac{1}{c} \).
Правильный ответ: (2) \( c^2; c; \frac{1}{c} \).
Задача 8
Условие: Найдите значение выражения \(\sqrt{2} + 3 : \sqrt{2} - 1\).
Решение:
Упростим дробь:
\[ \frac{\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} - 1} \]
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя \((\sqrt{2} + 1)\):
\[ \frac{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} \]
Таким образом, расчет:
\[ (\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 = 2 + \sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3 \]
\[ = 5 + 4\sqrt{2} \]
Таким образом:
\[ = 5 + 4\sqrt{2} \]
Подставляем в итог:
\[ = 5 + 4\sqrt{2} \]
Правильный ответ: (3) \(5 + 4\sqrt{2}\).
