Найдите квадрат стороны правильного треугольника АВС , если квадрат длины вектора АВ + АС равен 36.

Дано:
Квадрат длины вектора \(\vec{AB} + \vec{AC} = 36\)

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и треугольников.

1. Поскольку треугольник \(ABC\) - правильный, то длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равны между собой и представляют сторону треугольника.

2. Запишем известное условие в виде формулы в квадратах: \(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(\angle BAC) = 36\)

3. Т.к. данный треугольник - правильный, то угол между сторонами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен \(60^\circ\), значит \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

4. Подставим в формулу: \(2|\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AB}|\cos(60^\circ) = 36\)

5. Упростим: \(4|\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}|^2 = 36\)
   \(6|\vec{AB}|^2 = 36\)
   \(|\vec{AB}|^2 = \frac{36}{6} = 6\)

6. Найдём длину стороны квадрата:
   \(|\vec{AB}| = \sqrt{6} \approx 2.45\)

Таким образом, длина стороны квадрата, который примыкает к стороне правильного треугольника \(ABC\), составляет около 2.45.