решите неравенство методом интервалов: (x + 7)(9x² - 12x + 4)/8x² + 2x - 1 меньше или равно 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдем его корни, то есть значения \( x \), при которых неравенство \( \leq 0 \) выполняется.

1. Находим корни уравнения: Для этого сначала находим нули числителя: \[ (x + 7)(9x^2 - 12x + 4) = 0 \] Разложим \(9x^2 - 12x + 4\) на множители: \[ 9x^2 - 12x + 4 = 3x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x + 1)(3x - 4) \] Получаем: \((x + 7)(3x + 1)(3x - 4) = 0\)

   Теперь находим нули знаменателя: \[ 8x^2 + 2x - 1 = 0 \] Для решения этого уравнения используем метод дискриминанта: Дискриминант = \( b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36\) Так как дискриминант равен положительному числу, уравнение имеет два действительных корня: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm 6}{16} \) Получаем два корня: \( x_1 = \frac{1}{4} \) и \( x_2 = -1 \)

2. Построение интервалов: Теперь разбиваем ось \( x \) на интервалы, используя корни найденные выше: \( x = -7, -\frac{1}{4}, 4 \) Интервалы: \( (-\infty, -7), (-7, -\frac{1}{4}), (-\frac{1}{4}, 4), (4, +\infty) \)

3. Проверка знаков неравенства на интервалах:

   • Подставляем точку из каждого интервала в исходное неравенство и анализируем знак выражения.
   • Помним, что если переменная встречается в исходном неравенстве в квадрате (числителе), результат после подстановки будет одинаковый на обоих сторонах \( 0 \).
   • Также используем правило о нестрогих знаках при проверке знака на интервалах.

4. Проверка:

   • Для интервала \((- \infty, -7)\), возьмем \(x = -8\): \[ \text{Левая часть: } \frac{(-8 + 7)(9(-8)^2 - 12(-8) + 4)}{8(-8)^2 + 2(-8) - 1} = \frac{(-1)(576 + 96 + 4)}{512 - 16 - 1} = \frac{-676}{495} < 0 \] Знак '<=' выполняется, значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

   • Для интервала \((-7, -\frac{1}{4})\), возьмем \(x = -1\): \[ \text{Левая часть: } \frac{(-1 + 7)(9(-1)^2 - 12(-1) + 4)}{8(-1)^2 + 2(-1) - 1} = \frac{(6)(9 + 12 + 4)}{8 - 2 - 1} = \frac{132}{5} > 0 \] Неравенство не выполняется на этом интервале.

   • Для интервала \((- \frac{1}{4}, 4)\), возьмем \(x = 0\): \[ \text{Левая часть: } \frac{(0 + 7)(9(0)^2 - 12(0) + 4)}{8(0)^2 + 2(0) - 1} = \frac{(7)(4)}{-1} = \frac{28}{-1} < 0 \] Знак '<=' выполняется, значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

   • Для интервала \((4, +\infty)\), возьмем \(x = 5\): \[ \text{Левая часть: } \frac{(5 + 7)(9(5)^2 - 12(5) + 4)}{8(5)^2 + 2(5) - 1} = \frac{(12)(225 - 60 + 4)}{200 + 10 - 1} = \frac{696}{209} > 0 \] Неравенство не выполняется на этом интервале.

5. Ответ: Итак, удовлетворяющие данному неравенству интервалы:

   • \((- \infty, -7]\) и \((- \frac{1}{4}, 4]\)