у троих школьников 203 руб на проезд в школу и обратно известно что у любых двух различные суммы причём у одного в целое число раз больше чем у другого Какая из приведённых сумм…

Для решения данной задачи, давайте разберемся в условии пошагово.

1. Обозначим суммы, которые могут иметь школьники за \( x, y \) и \( z \), где \( x < y < z \), так как суммы различны.

2. Из условия задачи нам известно, что у троих школьников всего 203 рубля. Это значит, что \( x + y + z = 203 \).

3. Также известно, что у любых двоих суммы различаются в целое число раз. Давайте представим это следующим образом:

   • Если у \( x \) сумма в \( k \) раз меньше, чем у \( y \): \( x = ky \).
   • Если у \( y \) сумма в \( m \) раз меньше, чем у \( z \): \( y = mz \).
   • Где \( k \) и \( m \) являются натуральными числами.

4. Теперь мы можем переписать уравнение для сумм:

   • \( x + y + z = 203 \) ⇒ \( ky + y + mz = 203 \) ⇒ \( y(k + 1 + m) = 203 \).

5. Поскольку \( y\) — целое число, то \( k + 1 + m \) также должно быть делителем 203.

6. Разложим 203 на простые множители: \( 203 = 7 \times 29 \).

   • Теперь найдем все такие натуральные \( k, m \), что их сумма с 1 даст какую-либо из этих цифр.
   • Для этого переберем все возможные делители числа 203: 1, 7, 29 и 203.

7. Выразим \( k + 1 + m = d \), где \( d \) — делитель 203.

   • \( 1 + 1 + 203 = 205 \) — не подходит.
   • \( 7 + 1 + 29 = 37\) — не подходит.
   • \( 29 + 1 + 7 = 37\) — не подходит.
   • \( 203 + 1 + 1 = 205 \) — не подходит.

8. Поэтому подходит только вариант \( k = 6, m = 28 \):

   • \( 6 + 1 + 28 = 35 \) — это один из возможных вариантов сумм для школьников.

Таким образом, сумма в 35 рублей могла быть у одного из школьников, удовлетворяя всем условиям задачи.