Найдите внешний угол при вершине К

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных с ним углов.

В треугольнике \( MNK \):

1. Угол \( NMK = 20^\circ \).
2. \( MK = KN \), значит, треугольник равнобедренный, и углы при основании \( K \) равны.
3. Пусть угол \( K = x \). Тогда угол \( MNK = 20^\circ \), и оставшиеся два угла (разделённые равными сторонами \( MK \) и \( KN \)) также равны \( x \).

Так как сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \), имеем уравнение:

\[ 20^\circ + x + x = 180^\circ \]

Решая его, получаем:

\[ 2x = 160^\circ \]

\[ x = 80^\circ \]

Теперь найдём внешний угол при вершине \( K \). Он будет равен сумме углов \( MNK \) и \( M \):

\[ Внешний \ угол = 20^\circ + 80^\circ = 100^\circ \]

Таким образом, внешний угол при вершине \( K \) равен \( 100^\circ \).