Реши все
Давайте решим каждое уравнение по порядку.
\(y' = \ln(x + x^5)\)
Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования составной функции. Если \(y = \ln(u)\), то \(y' = \frac{1}{u} \cdot u'\).
Пусть \(u = x + x^5\), тогда: \[ u' = 1 + 5x^4 \]
Таким образом, производная: \[ y' = \frac{1}{x + x^5} \cdot (1 + 5x^4) = \frac{1 + 5x^4}{x + x^5} \]
\(y' = \ln(1 + 3x^2)\)
Применим то же правило. Пусть \(u = 1 + 3x^2\), тогда: \[ u' = 6x \]
Производная: \[ y' = \frac{1}{1 + 3x^2} \cdot 6x = \frac{6x}{1 + 3x^2} \]
\(y = e^{-2x} \ln x\)
Здесь нужно использовать правило произведения. Если \(y = uv\), то \(y' = u'v + uv'\).
Пусть \(u = e^{-2x}\) и \(v = \ln x\). Тогда: \[ u' = -2e^{-2x} \quad \text{(производная экспоненты)} \] \[ v' = \frac{1}{x} \quad \text{(производная логарифма)} \]
Производная: \[ y' = (-2e^{-2x})(\ln x) + (e^{-2x})\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ y' = -2e^{-2x} \ln x + \frac{e^{-2x}}{x} \]
\(y = (1 - x^3) \ln (x)\)
Аналогично, применим правило произведения. Пусть \(u = (1 - x^3)\) и \(v = \ln x\).
Тогда: \[ u' = -3x^2 \] \[ v' = \frac{1}{x} \]
Производная: \[ y' = (-3x^2)(\ln x) + (1 - x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ y' = -3x^2 \ln x + \frac{1 - x^3}{x} \] \[ y' = -3x^2 \ln x + \frac{1}{x} - x^2 \]
\(y' = (1 + x^2)^{-1} + \ln(3x^2)\)
Для первой части используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \(u = (1 + x^2)\), то: \[ u' = 2x \]
Перепишем первую часть производной: \[ \left((1 + x^2)^{-1}\right)' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} \]
Для второй части применяем правило дифференцирования логарифма: \[ \left(\ln(3x^2)\right)' = \frac{1}{3x^2} \cdot 6x = \frac{2}{x} \]
Полная производная: \[ y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} + \frac{2}{x} \]
\(y = \ln\left(\frac{x^3 - 1}{2x + 1}\right)\)
Используем свойство логарифма \(\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\).
Пусть: \[ y = \ln(x^3 - 1) - \ln(2x + 1) \]
Найдем производную каждой части: \[ \left(\ln(x^3 - 1)\right)' = \frac{3x^2}{x^3 - 1} \] \[ \left(\ln(2x + 1)\right)' = \frac{2}{2x + 1} \]
Таким образом, полная производная: \[ y' = \frac{3x^2}{x^3 - 1} - \frac{2}{2x + 1} \]
Эти решения показывают как применять различные правила дифференцирования: правило сложной функции, логарифмическое и правило произведения.
