Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно,…

Давайте решим данную задачу.

Обозначим задуманное двузначное число как \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) - цифры числа.

По условию задачи, известно, что вторая цифра больше первой на 2, следовательно \(b = a + 2\).

После перестановки цифр получим число \(10b + a\).

Тогда сумма квадратов задуманного числа и перестановки цифр будет:

\[(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 1130.\]

Разложим полученное уравнение на два уравнения:

\[\begin{cases} (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 \\ (10b + a)^2 = 100b^2 + 20ab + a^2 \end{cases}\]

Заменим \(b = a + 2\):

\[\begin{cases} 100a^2 + 20a(a + 2) + (a + 2)^2 = 100b^2 + 20a(a + 2) + a^2 \\ 100(a + 2)^2 + 20a(a + 2) + a^2 = 1130 \end{cases}.\]

Раскрыв скобки и объединив уравнения, получим:

\[101a^2 + 41a + 4 = 1130.\]

Теперь найдем значение \(a\):

\[101a^2 + 41a + 4 - 1130 = 0.\]

Решив это квадратное уравнение, мы получим два корня: \(a = 4\) и \(a = -\frac{26}{101}\). Т.к. у нас число должно быть целым и двузначным, то \(a = 4\).

Теперь найдем значение \(b\), подставив \(a = 4\) в уравнение \(b = a + 2\), получим \(b = 6\).

Таким образом, задуманное число равно \(46\).