решить
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для скорости и понять, как двигался катер.
Дано:
- Катер прошёл по течению 32 км, а потом вернулся обратно, пройдя ещё 24 км.
- Задержка на всём пути составила 4 часа.
- Скорость течения реки — 3 км/ч.
Нужно найти собственную скорость катера, обозначим её за \( v \) км/ч.
Решение:
Определение скорости и времени:
По течению:
- Скорость катера по течению: \( v + 3 \) км/ч.
- Время по течению: \( \frac{32}{v + 3} \) ч.
Против течения:
- Скорость катера против течения: \( v - 3 \) км/ч.
- Время против течения: \( \frac{24}{v - 3} \) ч.
Суммарное время движения:
Суммарное время в пути и задержка составляют 4 часа:
\[ \frac{32}{v + 3} + \frac{24}{v - 3} = 4 \]
Решение уравнения:
Приведём уравнение к общему знаменателю и избавимся от дробей:
\[ 32(v - 3) + 24(v + 3) = 4(v + 3)(v - 3) \]
Раскроем скобки:
\[ 32v - 96 + 24v + 72 = 4(v^2 - 9) \]
Приведём подобные члены:
\[ 56v - 24 = 4v^2 - 36 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ 4v^2 - 56v - 36 + 24 = 0 \]
\[ 4v^2 - 56v - 12 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив на 4:
\[ v^2 - 14v - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение по формуле:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -14 \), \( c = -3 \).
\[ v = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12}}{2} \]
\[ v = \frac{14 \pm \sqrt{208}}{2} \]
\[ v = \frac{14 \pm 2\sqrt{52}}{2} \]
\[ v = 7 \pm \sqrt{52} \]
Поскольку скорость должна быть положительной, берём только вариант с плюсом:
\[ v = 7 + \sqrt{52} \]
\(\sqrt{52} \approx 7.21\)
Таким образом, собственная скорость катера приближенно равна \( 14.21 \) км/ч.
Ответ: Приблизительно \( 14.21 \) км/ч.
