Для начала обозначим точки и стороны треугольника:
- Пусть точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе АС называется D, точка пересечения отрезка, который делит угол в отношении 4:7, с катетом АВ - точка Е.
- АС - гипотенуза треугольника АВС.
- АВ и BC - катеты треугольника АВС.
Дано, что отрезок, соединяющий точку D с точкой Е, делит угол ABC в отношении 4:7, где 4 - часть при катете АВ.
Так как отрезок DE является серединным перпендикуляром к гипотенузе АС, то он также является высотой треугольника АВС. Также как AC является основанием треугольника.
Разберемся, как относятся стороны прямоугольного треугольника АВС. Угол ABC - против угла с гипотенузой, поэтому угол ABC - прямой.
Так как угол ABC прямой, то угол в прямоугольном треугольнике при вершине C равен 90 градусов.
Посмотрим на треугольник ADE. Так как DE - высота, а AC - основание, то синус угла A обозначим через sinA, где sinA = DE/AC.
Синус угла A мы можем выразить через площадь треугольника ADE, который равна половине площади треугольника ABC, так как треугольники ADE и ABC подобны и соответственны:
(sinA = \frac{DE}{AC} = \frac{половина площади ADE}{половина площади ABC} = \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}})
Так как sin 90 градусов = 1 и (S_{ABC} = \frac{AC*BC}{2}), то применив подобие треугольников, мы получаем:
(sinA = \frac{DE}{AC} = \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}})
(sinA = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{2})
(DE = \frac{AC}{2})
Теперь посмотрим на треугольник AED. Так как угол AED = угол ABC, а угол DEA = 90 градусов, то угол AED также равен 90 градусов (угол треугольника).
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол в вершине C равен 90 градусов, а угол EAC (так как DE || AC) = 90 градусов, то угол BAC = 0.
Таким образом, угол прямоугольного треугольника ABC в вершине B равен 90 градусов.
