Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно,…
Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.
Решение:
Обозначим задуманное двузначное число как \(10a+b\), где \(a\) - первая цифра, а \(b\) - вторая цифра. По условию, вторая цифра на 2 больше первой, таким образом \(b=a+2\).
После перестановки цифр получаем число \(10b+a\). Сумма квадратов этого числа и задуманного числа равна 1130:
\[(10b+a)^2 + (10a+b)^2 = 1130\]Раскроем скобки и запишем уравнение:
\[(100b^2 + 20ab + a^2) + (100a^2 + 20ab + b^2) = 1130\] \[100(b^2 + a^2) + 40ab + 2ab = 1130\] \[100(b^2 + a^2) + 42ab = 1130\]Теперь подставим выражение для \(b=a+2\):
\[100((a+2)^2 + a^2) + 42a(a+2) = 1130\] \[100(2a^2 + 4a + 4 + a^2) + 42a^2 + 84a = 1130\] \[100(3a^2 + 4a + 4) + 42a^2 + 84a = 1130\] \[300a^2 + 400a + 400 + 42a^2 + 84a = 1130\] \[342a^2 + 484a + 400 = 1130\] \[342a^2 + 484a - 730 = 0\]Теперь решим квадратное уравнение:
Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)
\(D = 484^2 - 4 \cdot 342 \cdot (-730) = 484^2 + 4 \cdot 342 \cdot 730\)
\(D = 234256 + 996720\)
\(D = 1238976\)
Теперь найдем значения \(a\):
\(a = \frac{-484 \pm \sqrt{1238976}}{2 \cdot 342}\)
\(a = \frac{-484 \pm 1112}{684}\)
Решив уравнение, получим два возможных значения \(a\). Подставим каждое из них обратно в уравнение \(b = a + 2\), и найдем числа.
После нахождения \(a\) и \(b\) проверяем оба найденных числа, чтобы удостовериться, что сумма квадратов равна 1130.
Таким образом, следует решить квадратное уравнение и протестировать оба возможных двузначных числа, чтобы найти задуманное число.
