Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

**Решение:** 1. Обозначим задуманное двузначное число как $10a+b$, где $a$ - первая цифра, а $b$ - вторая цифра. По условию, вторая цифра на 2 больше первой, таким образом $b=a+2$. 2. После перестановки цифр получаем число $10b+a$. Сумма квадратов этого числа и задуманного числа равна 1130: $$(10b+a)^2 + (10a+b)^2 = 1130$$ 3. Раскроем скобки и запишем уравнение: $$(100b^2 + 20ab + a^2) + (100a^2 + 20ab + b^2) = 1130$$ $$100(b^2 + a^2) + 40ab + 2ab = 1130$$ $$100(b^2 + a^2) + 42ab = 1130$$ 4. Теперь подставим выражение для $b=a+2$: $$100((a+2)^2 + a^2) + 42a(a+2) = 1130$$ $$100(2a^2 + 4a + 4 + a^2) + 42a^2 + 84a = 1130$$ $$100(3a^2 + 4a + 4) + 42a^2 + 84a = 1130$$ $$300a^2 + 400a + 400 + 42a^2 + 84a = 1130$$ $$342a^2 + 484a + 400 = 1130$$ $$342a^2 + 484a - 730 = 0$$ 5. Теперь решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$ $D = 484^2 - 4 \cdot 342 \cdot (-730) = 484^2 + 4 \cdot 342 \cdot 730$ $D = 234256 + 996720$ $D = 1238976$ Теперь найдем значения $a$: $a = \frac{-484 \pm \sqrt{1238976}}{2 \cdot 342}$ $a = \frac{-484 \pm 1112}{684}$ Решив уравнение, получим два возможных значения $a$. Подставим каждое из них обратно в уравнение $b = a + 2$, и найдем числа. 6. После нахождения $a$ и $b$ проверяем оба найденных числа, чтобы удостовериться, что сумма квадратов равна 1130. Таким образом, следует решить квадратное уравнение и протестировать оба возможных двузначных числа, чтобы найти задуманное число.