2cos²x+3sinx=0
Данное уравнение включает в себя как косинус, так и синус. Чтобы решить уравнение \(2\cos^2x + 3\sin x = 0\), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и переписать его в другом виде, используя основные соотношения между синусом и косинусом.
Перепишем уравнение, используя тождество \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\):
\(2(1 - \sin^2x) + 3\sin x = 0\)
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\(2 - 2\sin^2x + 3\sin x = 0\)
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(\sin x\):
\(-2\sin^2x + 3\sin x + 2 = 0\)
Теперь решим квадратное уравнение для \(\sin x\). Мы имеем квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = -2\), \(b = 3\), \(c = 2\). Решим его с помощью формулы для дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(D = 3^2 - 4*(-2)*2 = 9 + 16 = 25\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня.
\(\sin x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2*(-2)}\)
\(\sin x = \frac{-3 \pm 5}{-4}\)
- \(\sin x = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\)
- \(\sin x = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2\) - корень вне диапазона функции синуса, т.к. синус всегда находится в интервале \([-1, 1]\).
Теперь найдем значения \(x\) для которых \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Угол, для которого синус равен \(-\frac{1}{2}\), находится в III и IV квадрантах и составляет 240° и 300° или в радианах \(4\pi/3\) и \(5\pi/3\).
Таким образом, решением уравнения \(2\cos^2x + 3\sin x = 0\) являются углы \(x = 4\pi/3\) и \(x = 5\pi/3\).
