Найдите сумму всех целых решений сопокупности неравенств х-1/5<х+1/3-1/15 и (Х-4)² + 7 < (х+3)² - 14 на промежутке [-8;8]
Дано два неравенства:
- \(x - \frac{1}{5} < x + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}\)
- \((x-4)^2 + 7 < (x+3)^2 - 14\)
Изучим их по очереди:
- \(x - \frac{1}{5} < x + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}\)
Сначала упростим это неравенство:
\(x - \frac{1}{5} < x + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}\)
Упростим правую сторону:
\(x - \frac{1}{5} < x + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}\)
\(x - \frac{1}{5} < x + \frac{5}{15} - \frac{1}{15}\)
\(x - \frac{1}{5} < x + \frac{4}{15}\)
Теперь выведем все неизвестные \(x\) влево, а все числа вправо:
\(x - x < \frac{4}{15} + \frac{1}{5}\)
\(0 < \frac{3}{15} + \frac{3}{15}\)
\(0 < \frac{6}{15}\)
\(0 < \frac{2}{5}\)
Таким образом, первое неравенство выполняется для всех \(x\).
- \((x-4)^2 + 7 < (x+3)^2 - 14\)
Преобразуем неравенство:
\((x-4)^2 + 7 < (x+3)^2 - 14\)
\(x^2 - 8x + 16 + 7 < x^2 + 6x + 9 - 14\)
\(x^2 - 8x + 23 < x^2 + 6x - 5\)
Теперь выведем все неизвестные \(x\) влево, а все числа вправо:
\(x^2 - x^2 + 8x - 6x < -5 - 23\)
\(2x < -28\)
\(x < -14\)
Итак, второе неравенство выполняется для всех \(x < -14\).
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств на интервале \([-8; 8]\):
Так как первое неравенство выполняется для всех \(x\), а второе выполняется только для \(x < -14\), то пересечение решений на интервале \([-8; 8]\) равно пустому множеству.
Следовательно, сумма всех целых решений равна \(0\) (нулю), так как на заданном интервале нет целых решений, удовлетворяющих обоим неравенствам.
