помоги решить

Давайте разберёмся с каждым пунктом задачи по очереди.

а) Решим уравнение:

Уравнение имеет вид:

\[ \frac{\log_2^2 (\sin x) + \log_2 (\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \]

1. Найдём, когда дробь равна нулю: \[ \log_2^2 (\sin x) + \log_2 (\sin x) = 0 \]

   Это квадратное уравнение относительно \( y = \log_2 (\sin x) \): \[ y^2 + y = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение: \[ y(y + 1) = 0 \]

   Отсюда получаем два корня: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \]

3. Вернемся к функции логарифма:

   • \( y = \log_2 (\sin x) = 0 \) даёт нам \(\sin x = 1\).
   • \( y = \log_2 (\sin x) = -1 \) даёт нам \(\sin x = \frac{1}{2}\).

4. Найдём значения \( x \):

   • \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   • \(\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

б) Найдём все корни, принадлежащие промежутку \([\frac{\pi}{2}, 2\pi]\):

1. Для \(\sin x = 1\):

   • \( x = \frac{\pi}{2} \).

2. Для \(\sin x = \frac{1}{2}\):

   • \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \): не входит в указанный промежуток.
   • \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \): уточним ближайшие значения:
     • При \( k = 0 \), \( x = \frac{5\pi}{6} \).
     • При \( k = 1 \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \): не входит в указанный промежуток.

Итак, корни в заданном промежутке: \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).