Помоги решить

Давайте разберём вашу задачу. **а) Решим уравнение:** \[ \frac{\log^2_3(\sin x) + \log_3(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю. Значит, решаем уравнение: \[ \log^2_3(\sin x) + \log_3(\sin x) = 0 \] Обозначим \( y = \log_3(\sin x) \). Уравнение примет вид: \[ y^2 + y = 0 \] Решим его, вынеся \( y \) за скобки: \[ y(y + 1) = 0 \] Отсюда \( y = 0 \) или \( y = -1 \). Для \( y = 0 \): \[ \log_3(\sin x) = 0 \rightarrow \sin x = 3^0 = 1 \] Для \( y = -1 \): \[ \log_3(\sin x) = -1 \rightarrow \sin x = 3^{-1} = \frac{1}{3} \] Теперь находим \( x \), удовлетворяющие этим условиям. 1. \(\sin x = 1\): \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \). 2. \(\sin x = \frac{1}{3}\): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \) или \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \). **б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\):** 1. Для \(\sin x = 1\): \( x = \frac{\pi}{2} \) 2. Для \(\sin x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \] Берём только те корни, которые попадают в указанный интервал. Пусть \( k = 0 \): \[ x_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \] \[ x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \] Убедимся, что эти корни действительно входят в \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\). - \(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\) находится в интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\). - Нужно только рассмотреть переход \(\pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\) на принадлежность требуемому интервалу. Подводя итог, \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \) являются решениями в заданном интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\).