Решить

Чтобы решить неравенство \(2x - 2x^2 < 0\), следуем шагам:

1. Переносим все члены в одну сторону:

   \[ 2x - 2x^2 < 0 \implies -2x^2 + 2x < 0 \]

2. Вынесем общий множитель:

   \[ -2x(x - 1) < 0 \]

3. Найдём корни уравнения:

   \(-2x(x - 1) = 0\)

   Решая это уравнение, получаем:

   \(-2x = 0 \implies x = 0\)

   \(x - 1 = 0 \implies x = 1\)

   Таким образом, корни: \(x = 0\) и \(x = 1\).

4. Разобьём числовую прямую на интервалы:

   Интервалы: \((-\infty, 0)\), \( (0, 1) \), \( (1, +\infty) \).

5. Определяем знаки на интервалах:

   Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в произведение \(-2x(x-1)\):

   • Для интервала \((-\infty, 0)\), возьмём \(x = -1\): \[ -2(-1)((-1) - 1) = -2 \cdot -1 \cdot -2 = -4 \quad (\text{отрицательное}) \]

   • Для интервала \((0, 1)\), возьмём \(x = 0.5\): \[ -2(0.5)((0.5) - 1) = -2 \cdot 0.5 \cdot -0.5 = 0.5 \quad (\text{положительное}) \]

   • Для интервала \((1, +\infty)\), возьмём \(x = 2\): \[ -2(2)((2) - 1) = -2 \cdot 2 \cdot 1 = -4 \quad (\text{отрицательное}) \]

6. Выбираем нужные интервалы:

   Нам нужно, чтобы \(-2x(x-1) < 0\). Это выполняется на интервалах, где выражение отрицательное.

   Таким образом, решением является: \((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\).

Ответ: \((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\).