.

Давайте разберем некоторые задачи, которые видны на изображении, и ответим на контрольные вопросы. ### Задача 1 Выражение: \[ \int (3x^5 - 4x^{3/2} + 7) \, dx \] **Решение:** 1. Используем основное правило интегрирования: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(C\) — константа интегрирования. 2. Интегрируем каждое слагаемое: - \(\int 3x^5 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{3x^6}{6} = \frac{x^6}{2}\) - \(\int -4x^{3/2} \, dx = -4 \cdot \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = -4 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = -\frac{8x^{5/2}}{5}\) - \(\int 7 \, dx = 7x\) 3. Объединяем результаты: \[ \int (3x^5 - 4x^{3/2} + 7) \, dx = \frac{x^6}{2} - \frac{8x^{5/2}}{5} + 7x + C \] ### Ответы на контрольные вопросы 1. **Сформулируйте основную задачу интегрального исчисления.** - Основная задача интегрального исчисления состоит в нахождении функции, первообразной (или интеграла), производная от которой равна данной функции. 2. **Какой интеграл называется определенным?** - Определённый интеграл — это интеграл, вычисляемый на определённом интервале \([a, b]\) и выражающий площадь под кривой функции между точками \(a\) и \(b\). 3. **Что называют неопределенным интегралом?** - Неопределённый интеграл включает в себя все первообразные данной функции и записывается с константой интегрирования \(C\). 4. **Формула Ньютона-Лейбница.** - Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл и первообразную функции. Если \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\), то \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 5. **Какую геометрическую задачу решает интегральное исчисление?** - Интегральное исчисление используется для вычисления площади под кривой. 6. **Заполните таблицу свойств неопределенного интеграла.** - Основные свойства неопределённого интеграла включают линейность (вынесение константы за знак интеграла и интегрирование суммы как суммы интегралов). 7. **Перечислите основные методы интегрирования.** - Основные методы интегрирования: подстановка, интегрирование по частям, преобразование подынтегрального выражения и специальные интегралы (например, тригонометрические). 8. **Расскажите об интегрировании с использованием подстановки.** - Метод подстановки включает замену переменной для упрощения интеграла. Выбирается функция \(u = g(x)\), и дифференцирование по \(u\) облегчает интегрирование. 9. **Расскажите об интегрировании с использованием интегрирования по частям.** - Метод интегрирования по частям базируется на формуле: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), где выбираются функции \(u\) и \(dv\) для упрощения выражения. Если нужно подробное решение ещё какой-либо задачи, дайте знать!