.

Давайте разберем некоторые задачи, которые видны на изображении, и ответим на контрольные вопросы.

Задача 1

Выражение: \[ \int (3x^5 - 4x^{3/2} + 7) \, dx \]

Решение:

1. Используем основное правило интегрирования: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(C\) — константа интегрирования.

2. Интегрируем каждое слагаемое:

   • \(\int 3x^5 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{3x^6}{6} = \frac{x^6}{2}\)
   • \(\int -4x^{3/2} \, dx = -4 \cdot \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = -4 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = -\frac{8x^{5/2}}{5}\)
   • \(\int 7 \, dx = 7x\)

3. Объединяем результаты: \[ \int (3x^5 - 4x^{3/2} + 7) \, dx = \frac{x^6}{2} - \frac{8x^{5/2}}{5} + 7x + C \]

Ответы на контрольные вопросы

1. Сформулируйте основную задачу интегрального исчисления.

   • Основная задача интегрального исчисления состоит в нахождении функции, первообразной (или интеграла), производная от которой равна данной функции.

2. Какой интеграл называется определенным?

   • Определённый интеграл — это интеграл, вычисляемый на определённом интервале \([a, b]\) и выражающий площадь под кривой функции между точками \(a\) и \(b\).

3. Что называют неопределенным интегралом?

   • Неопределённый интеграл включает в себя все первообразные данной функции и записывается с константой интегрирования \(C\).

4. Формула Ньютона-Лейбница.

   • Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл и первообразную функции. Если \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\), то \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\).

5. Какую геометрическую задачу решает интегральное исчисление?

   • Интегральное исчисление используется для вычисления площади под кривой.

6. Заполните таблицу свойств неопределенного интеграла.

   • Основные свойства неопределённого интеграла включают линейность (вынесение константы за знак интеграла и интегрирование суммы как суммы интегралов).

7. Перечислите основные методы интегрирования.

   • Основные методы интегрирования: подстановка, интегрирование по частям, преобразование подынтегрального выражения и специальные интегралы (например, тригонометрические).

8. Расскажите об интегрировании с использованием подстановки.

   • Метод подстановки включает замену переменной для упрощения интеграла. Выбирается функция \(u = g(x)\), и дифференцирование по \(u\) облегчает интегрирование.

9. Расскажите об интегрировании с использованием интегрирования по частям.

   • Метод интегрирования по частям базируется на формуле: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), где выбираются функции \(u\) и \(dv\) для упрощения выражения.

Если нужно подробное решение ещё какой-либо задачи, дайте знать!