Чтобы решить эту задачу, нужно понять, как связаны радиусы вписанной и описанной окружностей квадрата.
Дан радиус ( r ) вписанной окружности квадрата:
[ r = 5\sqrt{2} ]
Вписанная окружность касается всех сторон квадрата, и её радиус равен половине длины стороны квадрата (( a )):
[ r = \frac{a}{2} ]
Подставим известный радиус:
[ 5\sqrt{2} = \frac{a}{2} ]
Решим это уравнение для ( a ):
[ a = 2 \times 5\sqrt{2} ]
[ a = 10\sqrt{2} ]
Теперь найдём радиус окружности, описанной около квадрата. Описанная окружность проходит через все вершины квадрата, и её радиус равен половине диагонали квадрата.
Диагональ квадрата ( d ) связана со стороной квадрата следующим образом:
[ d = a\sqrt{2} ]
Подставим ( a ):
[ d = 10\sqrt{2} \times \sqrt{2} ]
[ d = 10 \times 2 ]
[ d = 20 ]
Радиус описанной окружности равен половине диагонали:
[ R = \frac{d}{2} ]
[ R = \frac{20}{2} ]
[ R = 10 ]
Таким образом, радиус описанной окружности равен 10.
