Дим Димыч — хороший мальчик, но иногда врёт, 3 % его ответов ложные. Со стороны невозможно определить, врёт он или говорит правду. Нолик нашёл самодельный «детектор лжи», который…
Дим Димыч — хороший мальчик, но иногда врёт, 3 % его ответов ложные. Со стороны невозможно определить, врёт он или говорит правду. Нолик нашёл самодельный «детектор лжи», который не всегда правильно отличает правду от лжи. Если человек врёт, то детектор с вероятностью 98% подтвердит, что он действительно врёт. А тому, кто говорит правду, детектор с вероятностью 92 % покажет, что он говорит правду. Нолик спросил Дим Димыча, взял ли он конфету Симки, и использовал «детектор лжи» для проверки правдивости ответа. Детектор показал, что Дим Димыч врёт. С какой вероятностью Дим Димыч действительно соврал
Для решения этой задачи используем формулу условной вероятности и законы теории вероятностей.
Обозначим:
- \(A\) как событие "Дим Димыч взял конфету Симки";
- \(B\) как событие "Детектор лжи показал, что Дим Димыч врёт".
У нас известны следующие вероятности:
- \(P(B|A)\) — вероятность того, что детектор покажет ложь, если Дим Димыч врет, равна 0.98 (98%);
- \(P(\overline{B}|\overline{A})\) — вероятность того, что детектор покажет правду, если Дим Димыч не врет, равна 0.92 (92%);
- \(P(A)\) — вероятность того, что Дим Димыч взял конфету Симки, равна 0.03 (3%).
Мы ищем вероятность того, что Дим Димыч действительно врет, даже когда детектор лжи показал, что он врет. Это условная вероятность \(P(A|B)\).
Сначала нам нужно найти \(P(B)\) - вероятность того, что детектор покажет ложь:
\[P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})\] \[P(B) = 0.03 \cdot 0.98 + 0.97 \cdot (1-0.92) = 0.03 \cdot 0.98 + 0.97 \cdot 0.08 = 0.0294 + 0.0776 = 0.107\]Теперь можем вычислить \(P(A|B)\):
\[P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.03 \cdot 0.98}{0.107} \approx 0.2785\]Итак, с вероятностью примерно 27.85% Дим Димыч действительно врет, даже при том, что детектор лжи показал, что он врет.
