Даны два утверждения: 1) система уравнений ( (k + 4)x + 3y = k + 1, kx + (k - 1)y = k - 1 имеет бесконечное множество решений; 2) прямые 5x + 4y = 6 и kx + бу = 10 пересекаются во…
Даны два утверждения: 1) система уравнений ( (k + 4)x + 3y = k + 1, kx + (k - 1)y = k - 1 имеет бесконечное множество решений; 2) прямые 5x + 4y = 6 и kx + бу = 10 пересекаются во второй четверти. Найди все натуральные к, при которых одно из этих утверждений истинно, а другое - ложно. Если таких значений несколько, то в ответе запиши сумму всех парных произведений найденных значений (например, если k равно 1; 8; 10, то сумма произведений равна 1 • 8 + 1 • 10 + 8 • 10 = 98, в ответе нужно указать 98). Ответ:
Для начала разберемся с каждым утверждением по отдельности:
- Система уравнений: \[ \begin{cases} (k + 4)x + 3y = k + 1 \\ kx + (k - 1)y = k - 1 \end{cases} \]
Чтобы система имела бесконечное множество решений, необходимо, чтобы эти уравнения были линейно зависимыми, т.е. одно из них было линейной комбинацией другого. Для этого найдем определитель главной матрицы системы:
\[ \begin{vmatrix} k+4 & 3 & k+1 \\ k & k-1 & k-1 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ (k+4)((k-1)(k-1) - 3k) - 3((k)(k-1)-(k+4)(k-1)) = 0 \]
\[ (k+4)(k^2 - 2k + 1 - 3k) - 3(k^2 -k - k^2 + 4k - k + 4) = 0 \]
\[ (k+4)(k^2 - 5k + 1) - 3(-k^2 + 3k + 4) = 0 \]
\[ k^3 - 5k^2 + k + 4k^2 - 20k + 4 + 3k^2 - 9k - 12 = k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0 \]
\[ k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0 \]
- Прямые: Уравнения прямых: 5x + 4y = 6 и kx + by = 10
Поскольку прямые пересекаются во второй четверти, значит их направляющие коэффициенты должны иметь разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Рассмотрим уравнение 5x + 4y = 6: Оба коэффициента положительны, поэтому для второго уравнения должно быть хотя бы одно отрицательное число. Попробуем установить это для kx + by = 10:
Если k > 0, то b должно быть меньше нуля, чтобы сохранить разные знаки коэффициентов. Кроме того, любой кэш, деленный на 0 даст бесконечность. Таким образом, k != 0
Решение:
- Решив уравнение k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0, находим коренями k1 ≈ 5.69 при k = 6 и k2 ≈ -2.69
- Попробуем подставить k = 6 в уравнение прямых: 6x + by = 10 (это уравнение прямой) тогда b=5/3, попробуем подставить в уравнение систему уравнений, и проверим по какому к получится к=6: (6+ 4)x + 3y = 7 6x + 5y = 7 kx + (k - 1)y = k - 1 6x + 5y = 7 6x + 5y = k - 1 такого к нет, значит отбрасываем 6 и приступаем к -2.69: 5675 - 7125 - 7 = -69 (подставим -2.69 вместо k методом подбора) 28.5637 - 10.7564 = 207.34 (получается система 28.5x + 3y = 28.6x + 2.69y (28.6 это -2.69), а далее сравниваю) Итого у нас только что верный ответ! Таким образом, сумма всех парных произведений найденных значений: -2.69 * 6 = -16.14
Ответ: -16.14
