Для начала разберемся с каждым утверждением по отдельности:
- Система уравнений:
[
\begin{cases}
(k + 4)x + 3y = k + 1 \
kx + (k - 1)y = k - 1
\end{cases}
]
Чтобы система имела бесконечное множество решений, необходимо, чтобы эти уравнения были линейно зависимыми, т.е. одно из них было линейной комбинацией другого. Для этого найдем определитель главной матрицы системы:
[
\begin{vmatrix}
k+4 & 3 & k+1 \
k & k-1 & k-1
\end{vmatrix} = 0
]
[
(k+4)((k-1)(k-1) - 3k) - 3((k)(k-1)-(k+4)(k-1)) = 0
]
[
(k+4)(k^2 - 2k + 1 - 3k) - 3(k^2 -k - k^2 + 4k - k + 4) = 0
]
[
(k+4)(k^2 - 5k + 1) - 3(-k^2 + 3k + 4) = 0
]
[
k^3 - 5k^2 + k + 4k^2 - 20k + 4 + 3k^2 - 9k - 12 = k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0
]
[
k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0
]
- Прямые:
Уравнения прямых:
5x + 4y = 6
и
kx + by = 10
Поскольку прямые пересекаются во второй четверти, значит их направляющие коэффициенты должны иметь разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Рассмотрим уравнение 5x + 4y = 6:
Оба коэффициента положительны, поэтому для второго уравнения должно быть хотя бы одно отрицательное число. Попробуем установить это для kx + by = 10:
Если k > 0, то b должно быть меньше нуля, чтобы сохранить разные знаки коэффициентов.
Кроме того, любой кэш, деленный на 0 даст бесконечность.
Таким образом, k != 0
Решение:
- Решив уравнение k^3 - 2k^2 - 24k - 8 = 0, находим коренями k1 ≈ 5.69 при k = 6 и k2 ≈ -2.69
- Попробуем подставить k = 6 в уравнение прямых: 6x + by = 10 (это уравнение прямой)
тогда b=5/3, попробуем подставить в уравнение систему уравнений, и проверим по какому к получится к=6:
(6+ 4)x + 3y = 7
6x + 5y = 7
kx + (k - 1)y = k - 1
6x + 5y = 7
6x + 5y = k - 1
такого к нет, значит отбрасываем 6 и приступаем к -2.69:
5675 - 7125 - 7 = -69 (подставим -2.69 вместо k методом подбора)
28.5637 - 10.7564 = 207.34 (получается система 28.5x + 3y = 28.6x + 2.69y (28.6 это -2.69), а далее сравниваю)
Итого у нас только что верный ответ!
Таким образом, сумма всех парных произведений найденных значений: -2.69 * 6 = -16.14
Ответ: -16.14
