.

Конечно! Давайте разберём задачи из представленного варианта подробно: ### Задача 1 **Доказать, что функция \( F(x) = 3\cos x - 2\cos 2x + 1 \) является первообразной функции \( f(x) = \sin 2x \) на всей области определения.** **Решение:** 1. Найдём производную \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(3\cos x) - \frac{d}{dx}(2\cos 2x) + \frac{d}{dx}(1) \] 2. Используем правила дифференцирования: \[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x \] 3. Подставим в производную \( F(x) \): \[ F'(x) = 3(-\sin x) - 2(-2\sin 2x) + 0 = -3\sin x + 4\sin 2x \] 4. Сравниваем с \( f(x) \): Требуется, чтобы \( F'(x) = \sin 2x \). Производную записали как \( -3\sin x + 4\sin 2x \). Здесь, вероятно, ошибка в задании или дополнительное условие. Проверьте задачу. ### Задача 2 **Найдите первообразную функции, график которой проходит через указанную точку.** #### а) \( f(x) = 3x^2 - 2\), \((2, 5)\) 1. Найдём общую первообразную: \[ F(x) = \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x + C \] 2. Используем условие точки \((2, 5)\): \[ F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + C = 8 - 4 + C = 5 \] 3. Решаем уравнение: \[ 4 + C = 5 \Rightarrow C = 1 \] 4. Первообразная: \[ F(x) = x^3 - 2x + 1 \] #### б) \( f(x) = 2\sqrt{x}\), \((4, -3)\) 1. Первообразная: \[ F(x) = \int 2\sqrt{x} \, dx = \int 2x^{1/2} \, dx = \frac{4}{3}x^{3/2} + C \] 2. Условие: \[ F(4) = \frac{4}{3} \cdot 8 + C = -3 \] 3. Решаем: \[ \frac{32}{3} + C = -3 \rightarrow C = -3 - \frac{32}{3} = -\frac{41}{3} \] 4. Первообразная: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{41}{3} \] ### Задача 3 **Вычисление суммы криволинейного трапеции...** Для этой задачи требуется графический метод, чтобы вычислить площадь под графиком функции на указанном интервале. Это обычно делается через интеграл. Уточните функцию и пределы интегрирования для более детального решения. ### Задача 4 **Прямая, проходящая через точку \( (1,2) \) и перпендикулярная...** 1. Чтобы прямая была перпендикулярна данной, её угловой коэффициент должен быть отрицательным обратным данному. Если заданная прямая имеет угловой коэффициент \( m \), искомый коэффициент будет \( -\frac{1}{m} \). 2. Используйте уравнение прямой: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] ### Задача 5 **Решить .** Пожалуйста, уточните условия задачи. Если у вас есть другие задачи или дополнительные условия, пожалуйста, уточните, и я постараюсь помочь!