.
Конечно! Давайте разберём задачи из представленного варианта подробно:
Задача 1
Доказать, что функция \( F(x) = 3\cos x - 2\cos 2x + 1 \) является первообразной функции \( f(x) = \sin 2x \) на всей области определения.
Решение:
Найдём производную \( F(x) \):
\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(3\cos x) - \frac{d}{dx}(2\cos 2x) + \frac{d}{dx}(1) \]
Используем правила дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x \]
Подставим в производную \( F(x) \):
\[ F'(x) = 3(-\sin x) - 2(-2\sin 2x) + 0 = -3\sin x + 4\sin 2x \]
Сравниваем с \( f(x) \):
Требуется, чтобы \( F'(x) = \sin 2x \). Производную записали как \( -3\sin x + 4\sin 2x \). Здесь, вероятно, ошибка в задании или дополнительное условие. Проверьте задачу.
Задача 2
Найдите первообразную функции, график которой проходит через указанную точку.
а) \( f(x) = 3x^2 - 2\), \((2, 5)\)
Найдём общую первообразную:
\[ F(x) = \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x + C \]
Используем условие точки \((2, 5)\):
\[ F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + C = 8 - 4 + C = 5 \]
Решаем уравнение:
\[ 4 + C = 5 \Rightarrow C = 1 \]
Первообразная:
\[ F(x) = x^3 - 2x + 1 \]
б) \( f(x) = 2\sqrt{x}\), \((4, -3)\)
Первообразная:
\[ F(x) = \int 2\sqrt{x} \, dx = \int 2x^{1/2} \, dx = \frac{4}{3}x^{3/2} + C \]
Условие:
\[ F(4) = \frac{4}{3} \cdot 8 + C = -3 \]
Решаем:
\[ \frac{32}{3} + C = -3 \rightarrow C = -3 - \frac{32}{3} = -\frac{41}{3} \]
Первообразная:
\[ F(x) = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{41}{3} \]
Задача 3
Вычисление суммы криволинейного трапеции...
Для этой задачи требуется графический метод, чтобы вычислить площадь под графиком функции на указанном интервале. Это обычно делается через интеграл. Уточните функцию и пределы интегрирования для более детального решения.
Задача 4
Прямая, проходящая через точку \( (1,2) \) и перпендикулярная...
Чтобы прямая была перпендикулярна данной, её угловой коэффициент должен быть отрицательным обратным данному. Если заданная прямая имеет угловой коэффициент \( m \), искомый коэффициент будет \( -\frac{1}{m} \).
Используйте уравнение прямой:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
Задача 5
Решить .
Пожалуйста, уточните условия задачи.
Если у вас есть другие задачи или дополнительные условия, пожалуйста, уточните, и я постараюсь помочь!
