.

Чтобы найти первообразную функции, нужно выполнить интегрирование. Рассмотрим каждую из предложенных функций: ### a) \( f(x) = 5x - \frac{2}{x^2} + 3 \); точка \((-2; 3)\). **Шаг 1. Найдите общий вид первообразной:** \[ F(x) = \int (5x - \frac{2}{x^2} + 3) \, dx \] Интегрируем каждое слагаемое отдельно: \[ \int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2} \] \[ \int -\frac{2}{x^2} \, dx = \int -2x^{-2} \, dx = 2x^{-1} = -\frac{2}{x} \] \[ \int 3 \, dx = 3x \] Поэтому, общий вид первообразной: \[ F(x) = \frac{5x^2}{2} - \frac{2}{x} + 3x + C \] **Шаг 2. Используйте данную точку \((-2, 3)\), чтобы найти константу \(C\):** Пусть \( F(-2) = 3 \). \[ \frac{5(-2)^2}{2} - \frac{2}{-2} + 3(-2) + C = 3 \] \[ \frac{20}{2} + 1 - 6 + C = 3 \] \[ 10 + 1 - 6 + C = 3 \] \[ 5 + C = 3 \] \[ C = 3 - 5 = -2 \] Таким образом, первообразная: \[ F(x) = \frac{5x^2}{2} - \frac{2}{x} + 3x - 2 \] ### b) \( f(x) = (3x + 2)^2 \); точка \( \left(\frac{1}{3}, -1\right) \). **Шаг 1. Раскройте скобки и интегрируйте:** Раскрываем скобки: \[ f(x) = (3x+2)^2 = (3x+2)(3x+2) = 9x^2 + 12x + 4 \] Теперь найдем первообразную: \[ F(x) = \int (9x^2 + 12x + 4) \, dx \] \[ \int 9x^2 \, dx = 3x^3 \] \[ \int 12x \, dx = 6x^2 \] \[ \int 4 \, dx = 4x \] Поэтому: \[ F(x) = 3x^3 + 6x^2 + 4x + C \] **Шаг 2. Найдите константу \(C\), используя точку \(\left(\frac{1}{3}, -1\right)\):** \[ F\left(\frac{1}{3}\right) = -1 \] \[ 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 6\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{3}\right) + C = -1 \] \[ 3 \cdot \frac{1}{27} + 6 \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{3} + C = -1 \] \[ \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + C = -1 \] \[ \frac{1}{9} + \frac{6}{9} + \frac{12}{9} + C = -1 \] \[ \frac{19}{9} + C = -1 \] \[ C = -1 - \frac{19}{9} = -\frac{9}{9} - \frac{19}{9} = -\frac{28}{9} \] Таким образом, первообразная: \[ F(x) = 3x^3 + 6x^2 + 4x - \frac{28}{9} \] ### c) \( f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{6}) = 3\sqrt{x} \); точка \( (0; \frac{3}{4}) \). Здесь приведенное уравнение и точка не позволяют решить задачу стандартным способом, так как левая и правая часть уравнения равны быть не могут, поэтому нужно проверить корректность записи задачи. Если возможна другая интерпретация или способ решения, уточните контекст.