.

Для решения задач из контрольной работы давайте подойдем к каждой из них по отдельности.

Задача 1:

Условие: Вычислите: a) Градусную меру угла \( NPK \); b) Длину боковой стороны треугольника \( MNP \), если его периметр равен \( 60 \, \text{см} \), а длина основания \( 10 \, \text{см} \).

Решение:

a) Треугольник \( MNP \) равнобедренный с основанием \( NP = 10 \, \text{см} \). Угол \( NPK \) является основанием и, по свойству равнобедренного треугольника, равен углу \( \angle MPK \). Если нам нужно вычистить только одну из его равных сторон, а других данных нет, то дополнительные данные могут быть необходимы для точного вычисления.

b) Из условия: \( P = 60 \, \text{см} \), \( NP = 10 \, \text{см} \).

Периметр равен сумме всех сторон треугольника: \[ P = MN + NP + PM = 60 \, \text{см} \]

Поскольку треугольник равнобедренный: \[ MN = PM \]

Обозначим длину боковой стороны \( MN \) как \( x \): \[ x + x + 10 = 60 \] \[ 2x + 10 = 60 \] \[ 2x = 50 \] \[ x = 25 \]

Таким образом, каждая боковая сторона треугольника \( MNP \) равна \( 25 \, \text{см} \).

Задача 2:

Условие: Докажите, что \( \angle BAD = \angle DCB \).

Решение:

1. В четырехугольнике \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( P \).
2. Углы \( \angle BAD \) и \( \angle DCB \) являются соответствующими углами.
3. Если \( AB \parallel DC \), то по теореме о параллельных прямых и секущей данные углы равны: \[ \angle BAD = \angle DCB \]

Задача 3:

Условие: Внутри равнобедренного треугольника \( MNP \) с основанием \( NP \) взята точка \( C \) такая, что \( MC = CP \). Докажите, что \( \angle MCN = \angle LCP \).

Решение:

1. Точка \( C \) разделяет отрезок \( MP \) на два равных отрезка: \( MC = CP \).
2. Треугольники \( \triangle MCN \) и \( \triangle LCP \) равны по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).
3. Это подразумевает, что углы \( \angle MCN \) и \( \angle LCP \) равны вследствие равенства треугольников.

Таким образом, данные углы равны.

Если понадобятся дополнительные разъяснения по каким-либо пунктам, дайте знать!