Основанием пирамиды S A B C D SABCD является прямоугольная трапеция A B C D ABCD ( ∠ D A B = 90 ° ) (∠DAB=90°) . Грани S A B SAB и S C D SCD , содержащие боковые стороны трапеции,…

Дано:

• Основание пирамиды \(SABCD\) является прямоугольной трапецией \(ABCD\) \((\angle DAB=90^\circ)\).
• Грани \(SAB\) и \(SCD\), содержащие боковые стороны трапеции, перпендикулярны плоскости основания.
• Ребро \(SD=10\sqrt{2}\) составляет с плоскостью основания угол \(45^\circ\).
• Большее основание трапеции \(AD=6\).

Чтобы найти синус угла между плоскостями \((SAB)\) и \((SCD)\), давайте разберемся с геометрией пирамиды.

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(AD=6\) и углом \(DAB=90^\circ\). Так как это прямоугольная трапеция, то мы знаем, что \(AD\) и \(BC\) параллельны, и \(AD\) перпендикулярно к \(AB\) и \(DC\). Пусть \(H\) - высота трапеции \(ABCD\).

2. Также, так как грани \(SAB\) и \(SCD\) перпендикулярны к плоскости основания, то ребро \(SD\) вовлечено в прямой угол с основанием трапеции.

3. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника \(SAD\), имеем: \(SA^2 + AD^2 = SD^2\) \(SA^2 + 6^2 = (10\sqrt{2})^2\) \(SA^2 + 36 = 200\) \(SA^2 = 164\) \(SA = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\)

4. Поскольку ребро \(SA\) - высота равнобедренного треугольника \(SAB\), а также смежно с углом между гранями \(SAB\) и \(SCD\), мы можем использовать тригонометрическое отношение, чтобы найти синус угла между плоскостями.

Синус угла между плоскостями равен отношению высоты \(SA\) к гипотенузе равнобедренного треугольника \(SAB\):

\[\sin\theta = \frac{SA}{SD} = \frac{2\sqrt{41}}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{41}}{5}\]

Итак, синус угла между плоскостями \((SAB)\) и \((SCD)\) равен \(\frac{\sqrt{41}}{5}\).