вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²-6x+11 y=x+1

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо сначала найти точки их пересечения. Далее, используя эти точки, можно найти площадь фигуры под графиками функций.

1. Поиск точек пересечения: Уравнения линий:

   • y = x² - 6x + 11 (первая линия)
   • y = x + 1 (вторая линия)

   Для нахождения точек пересечения, приравняем выражения: x² - 6x + 11 = x + 1 x² - 7x + 10 = 0

   Факторизуем квадратное уравнение: (x - 2)(x - 5) = 0 x = 2 или x = 5

   Подставляем x обратно для нахождения значений y: Для x = 2: y = 2 + 1 = 3

   Для x = 5: y = 5 + 1 = 6

   Таким образом, точки пересечения линий: (2, 3) и (5, 6)

2. Вычисление площади фигуры: Для нахождения площади под кривыми, необходимо рассмотреть графики функций и определить, какая функция ограничивает площадь сверху, а какая снизу.

   Графики функций:

   • y = x² - 6x + 11: это парабола, направленная вверх, которая проходит через точки (2, 3) и (5, 6).
   • y = x + 1: это прямая, которая также проходит через эти точки.

   Таким образом, мы видим, что парабола находится выше прямой, и она ограничивает фигуру сверху.

   Интегрируем по x от x = 2 до x = 5, используя формулу площади под кривой: S = ∫[2, 5] (y2 - y1) dx, где y2 = x² - 6x + 11 и y1 = x + 1

   Теперь выразим площадь в виде интеграла: S = ∫[2, 5] ((x² - 6x + 11) - (x + 1)) dx S = ∫[2, 5] (x² - 7x + 10) dx

   Решаем интеграл: S = [(x³/3) - (7x²/2) + 10x] от 2 до 5 S = [(5³/3 - 75²/2 + 105) - (2³/3 - 72²/2 + 102)] S = [(125/3 - 175/2 + 50) - (8/3 - 28/2 + 20)] S = [(125/3 - 87.5 + 50) - (8/3 - 14 + 20)] S = [125/3 - 37.5] - [8/3 + 6] S = 87.5 - 14 S = 73.5

   Площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 73.5 площадных единиц (единицы площади).