На числовой прямой даны два отрезка: Р = [40; 70] и Q = [15; 90]. Укажите минимальную возможную длину такого отрезка А, для которого формула (x E A) ^ ((x € P) (x E Q))…
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [40; 70] и Q = [15; 90]. Укажите минимальную возможную длину такого отрезка А, для которого формула (x E A) ^ ((x € P) (x E Q)) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
Решение:
Для того чтобы формула была тождественно ложной, значит она должна принимать значение 0 при любом значении переменной x.
Давайте разберем формулу:
- \((x \in A)\) - x принадлежит отрезку A
- \((x \in P)\) - x принадлежит отрезку P = [40; 70]
- \((x \in Q)\) - x принадлежит отрезку Q = [15; 90]
Формула \((x \in A) \land ((x \in P) \lor (x \in Q))\) будет тождественно ложной только если отрезок A не пересекается с объединением отрезков P и Q.
Минимальная возможная длина отрезка A будет равна расстоянию между концами объединения отрезков P и Q.
Найдем объединение отрезков P и Q:
- Объединение [40; 70] и [15; 90] будет [15; 70].
Минимальная возможная длина отрезка A равна разнице между границами объединения P и Q:
- Длина отрезка A = 70 - 15 = 55.
Ответ: Минимальная возможная длина отрезка A, для которого формула \((x \in A) \land ((x \in P) \lor (x \in Q))\) будет тождественно ложной, равна 55.
