Основание прямого параллелепипеда — ромб, диагонали которого равны 8 и 6 дм. Найдите объем параллелепипеда, если его большая диагональ образует с плоскостью основания угол 45°.

Для начала рассмотрим основание прямоугольного параллелепипеда, которое является ромбом. У нас дано, что диагонали ромба равны 8 и 6 дм.

1. Найдем площадь основания параллелепипеда, которое является ромбом:

   • Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
     \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали.
   • Подставляем данные:
     \( S = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 \, дм^2 \)

2. Теперь найдем высоту параллелепипеда. Зная, что большая диагональ ромба образует угол 45° с плоскостью основания, можем представить эту диагональ как гипотенузу прямоугольного треугольника.

   • Пусть \( O \) - середина диагонали ромба, тогда прямоугольный треугольник \( OAD \) будет иметь угол \( 45° \) при вершине \( A \) и стороны \( OA = \frac{8}{2} = 4 \) и \( AD = \frac{6}{2} = 3 \).
   • Тогда по теореме Пифагора:
     \( OD^2 = OA^2 - AD^2 = 4^2 - 3^2 = 7 \)
     \( OD = \sqrt{7} \) дм
   • Высота прямоугольного параллелепипеда равна высоте подобного треугольника, то есть \( h = OD = \sqrt{7} \) дм.

3. Наконец, находим объем параллелепипеда:

   • Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
     \( V = S \cdot h = 24 \cdot \sqrt{7} \approx 38.73 \, дм^3 \)

Итак, объем данного прямоугольного параллелепипеда равен примерно 38.73 \( дм^3 \).