задумали трёхзначное число, которое делиться на 18 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке.…
Задумали трёхзначное число, которое делиться на 18 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?
Дано:
- Задумано трёхзначное число, которое делится на 18 и его последняя цифра не равна нулю.
- При вычитании трёхзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, из этого трёхзначного числа мы получили число 594.
Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с условиями задачи пошагово:
- Найдем трёхзначное число, которое делится на 18.
Чтобы число делилось на 18, оно должно делиться и на 9 (так как 18 = 2 * 9).
Трехзначное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Посмотрим на трёхзначные числа, сумма цифр которых делится на 9 и которые могут быть кратны 18:
- 126, 135, 144, 153, 162, 171, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252 ... и так далее.
- Исключим все числа, у которых последняя цифра равна нулю: В списке выше числа, у которых последняя цифра равна нулю - это числа сократить до:
- 126, 135, 144, 153, 162, 171, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243 ...
- Теперь, нам нужно найти такое число, чтобы его разность с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, была равна 594.
- Предположим, задуманное число - XYZ (где X, Y и Z - цифры)
- Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке - ZYX
Теперь мы можем написать уравнение: XYZ - ZYX = 594 100X + 10Y + Z - (100Z + 10Y + X) = 594 100X + 10Y + Z - 100Z - 10Y - X = 594 99X - 99Z = 594 99(X - Z) = 594
Поскольку (X - Z) делится на 9 (сумма цифр XYZ и ZYX), то 99(X - Z) также делится на 9. 594 делится на 9, значит, (X - Z) = 6.
Мы знаем, что X и Z являются цифрами трехзначного числа, и их разность равна 6.
Так как XYZ - трехзначное число, то X и Z должны быть цифрами такими, что их разность равна 6 и Z не равно 0.
Теперь проверим возможные значения X и Z:
- Если X = 7, тогда Z = 1 (7 - 1 = 6)
- Если X = 8, тогда Z = 2 (8 - 2 = 6)
- Итак, задуманное трёхзначное число должно быть кратным 18, его последняя цифра не равна нулю и его разность с числом, записанным в обратном порядке, равна 594.
Таким образом, два возможных трехзначных числа, соответствующих условиям задачи:
- 712 (последняя цифра - 2)
- 821 (последняя цифра - 1)
Это два возможных ответа на задачу.
