2. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 7:11. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Для решения этой задачи нам потребуется немного геометрии, а именно знание основ углов в окружности.

Когда точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 7:11, можно предположить, что угол, который опирается на меньшую из этих дуг, будет вписанным углом в окружность.

Давайте обозначим длины дуг, соответственно, как 7x и 11x, где x - это коэффициент пропорциональности. Таким образом, сумма длин дуг равняется общей длине окружности, то есть 2πr, где r - радиус окружности.

Известно, что угол вписанной дуги равен половине центрального угла, который соответствует данной дуге. Поскольку дуги делятся точками А и В, расположенными на окружности, центральный угол равен удвоенному вписанному углу.

Таким образом, величина вписанного угла (опирающегося на меньшую из дуг) будет равна: \[ \theta = \frac{1}{2} \times 2 \times \arcsin \left( \frac{7x}{2r} \right) \]

Для дальнейших вычислений нам нужно найти r. Мы знаем, что сумма длин дуг равна общей длине окружности: \[ 7x + 11x = 2\pi r \]

\[ 18x = 2\pi r \]

\[ r = \frac{9x}{\pi} \]

Теперь мы можем подставить значение r обратно в формулу для нахождения угла \(\theta\): \[ \theta = \frac{180}{\pi} \times \arcsin \left( \frac{7x}{9x} \right) \]

\[ \theta = \frac{180}{\pi} \times \arcsin \left( \frac{7}{9} \right) \]

\[ \theta \approx 82.76^\circ \]

Таким образом, величина вписанного угла, опирающегося на меньшую из дуг, составляет приблизительно 82.76 градусов.