Реши

Чтобы решить задачу, выполним несколько шагов:

1. Построение графика функции:

   Дана функция: \( y = x^2 + x - 2|x| + 1 \).

   Учитывая абсолютное значение, функция ведет себя по-разному в зависимости от знака \( x \):

   • Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \). Соответственно, уравнение принимает вид: \[ y = x^2 + x - 2x + 1 = x^2 - x + 1 \]

   • Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Соответственно, уравнение принимает вид: \[ y = x^2 + x + 2x + 1 = x^2 + 3x + 1 \]

   Таким образом, график функции состоит из двух парабол:

   • Парабола 1: \( y = x^2 - x + 1 \) при \( x \geq 0 \)
   • Парабола 2: \( y = x^2 + 3x + 1 \) при \( x < 0 \)

2. Определение пересечений с прямой \( y = m \):

   Теперь поочередно найдем значения \( m \), при которых данные параболы пересекаются с прямой ровно в трёх точках.

   • Для \( x \geq 0 \):

     Решаем уравнение: \[ x^2 - x + 1 = m \quad \Rightarrow \quad x^2 - x + (1 - m) = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - m) = 1 - 4 + 4m = 4m - 3 \]

   • Для \( x < 0 \):

     Решаем уравнение: \[ x^2 + 3x + 1 = m \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x + (1 - m) = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - m) = 9 - 4 + 4m = 4m + 5 \]

3. Находим \( m \), для которых сумма корней обоих уравнений равна трём:

   Учитывая, что дискриминанты должны быть неотрицательными:

   • Для \( D_1 \geq 0 \): \( 4m - 3 \geq 0 \Rightarrow m \geq \frac{3}{4} \)
   • Для \( D_2 \geq 0 \): \( 4m + 5 \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{5}{4} \)

   Для трех корней система уравнений \( D_1 = 0 \) или \( D_2 = 0 \) для одного из уравнений, а для другого — \( D > 0 \):

   Проверяем \( m = \frac{3}{4} \) и \( m = -\frac{5}{4} \):

   • При \( m = 1 \):
     • \( D_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1 \) (один корень)
     • \( D_2 = 4 \cdot 1 + 5 = 9 \) (два корня)

   Таким образом, \( m = 1 \) — это нужное значение \( m \).

Ответ: 1