Задание 3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ. Найдите длину стороны АС.

Дано:

• \( АН = 54 \)
• \( ВС = ВМ \)

Чтобы найти длину стороны \( АС \) в треугольнике \( ABC \), давайте использовать свойство медианы и высоты в треугольнике.

1. Медиана:
   Медиана \( BM \) делит сторону \( AC \) в отношении 2:1. Это означает, что отрезок \( AM \) равен половине стороны \( AC \), т.е. \( AM = \frac{1}{2} \cdot AC \).

2. Высота:
   Высота \( BN \) делит сторону \( AC \) на отрезки, которые представляют собой проекции точки \( B \) на сторону \( AC \). Пусть точка пересечения высоты с стороной \( AC \) обозначается как \( K \). Из прямоугольного треугольника \( BKN \) мы знаем, что \( AK = \frac{1}{2} \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 54 = 27 \).

3. Нахождение длины стороны \( AS \):
   Теперь нам нужно найти длину стороны \( AS \). Заметим, что отрезок \( AK \) является проекцией \( B \) на сторону \( AC \), следовательно \( AK = BC \).

Итак, мы имеем: \( AK = BC = 27 \)
\( AC = AM + BC = \frac{1}{2} \cdot AC + 27 \)

Теперь найдем длину стороны \( AC \):

\[ AC = \frac{1}{2} \cdot AC + 27 \]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 2 \cdot AC = AC + 54 \]

\[ AC = 54 \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна 54.