Первый и второй насосы наполняют бассейн за 27 минут, второй и третий — за 9 минут, а первый и третий за 54 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая…

Дано:

• Первый и второй насосы заполняют бассейн за 27 минут
• Второй и третий насосы заполняют бассейн за 9 минут
• Первый и третий насосы заполняют бассейн за 54 минут

Пусть:

• Скорость насоса 1 = \( x \) (выражается в долях бассейна, который насос заполняет за минуту)
• Скорость насоса 2 = \( y \)
• Скорость насоса 3 = \( z \)

Тогда:

• За 1 минуту работы первый и второй насосы наполняют \( x + y \) бассейна
• За 1 минуту работы второй и третий насосы наполняют \( y + z \) бассейна
• За 1 минуту работы первый и третий насосы наполняют \( x + z \) бассейна

Из условия задачи можно записать уравнения:

1. \( (x + y) \cdot 27 = 1 \) (за 27 минут первый и второй насосы заполняют бассейн)
2. \( (y + z) \cdot 9 = 1 \) (за 9 минут второй и третий насосы заполняют бассейн)
3. \( (x + z) \cdot 54 = 1 \) (за 54 минут первый и третий насосы заполняют бассейн)

Нам нужно найти время, за которое все три насоса заполнят бассейн вместе, обозначим это время как \( t \). Мы знаем, что работая вместе, их скорости складываются:

\[ (x + y + z) \cdot t = 1 \]

Перепишем уравнения в систему для решения:

\[ \begin{cases} 27(x + y) = 1 \\ 9(y + z) = 1 \\ 54(x + z) = 1 \\ t(x + y + z) = 1 \end{cases} \]

Решим данную систему. Сначала найдем значения переменных \( x, y, z \), а затем найдем время \( t \).

1. Решение системы уравнений:

Из первого и второго уравнений: \[ x = \frac{1}{27} - y \] \[ z = \frac{1}{9} - y \]

Подставим в третье уравнение: \[ \left(\frac{1}{27} - y\right) + \left(\frac{1}{9} - y\right) = \frac{1}{54} \] \[ \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{3}{27} + \frac{9}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{12}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{2}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ 2y = \frac{2}{27} - \frac{1}{54} \] \[ 2y = \frac{4 - 1}{54} \] \[ 2y = \frac{3}{54} \] \[ 2y = \frac{1}{18} \] \[ y = \frac{1}{36} \]

Найдем теперь \( x \) и \( z \): \[ x = \frac{1}{27} - \frac{1}{36} = \frac{4}{108} - \frac{3}{108} = \frac{1}{108} \] \[ z = \frac{1}{9} - \frac{1}{36} = \frac{4}{36} - \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]

2. Теперь найдем время, за которое все три насоса заполнят бассейн вместе: \[ t = \frac{1}{(x + y + z)} = \frac{1}{(\frac{1}{108} + \frac{1}{36} + \frac{1}{12})} = \frac{1}{\frac{12+36+108}{108}} = \frac{1}{\frac{156}{108}} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13} \]

Ответ: Все три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за \( \frac{9}{13} \) минут.