Первый и второй насосы наполняют бассейн за 27 минут, второй и третий — за 9 минут, а первый и третий за 54 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? Запишите решение и ответ.

Дано: - Первый и второй насосы заполняют бассейн за 27 минут - Второй и третий насосы заполняют бассейн за 9 минут - Первый и третий насосы заполняют бассейн за 54 минут Пусть: - Скорость насоса 1 = \( x \) (выражается в долях бассейна, который насос заполняет за минуту) - Скорость насоса 2 = \( y \) - Скорость насоса 3 = \( z \) Тогда: - За 1 минуту работы первый и второй насосы наполняют \( x + y \) бассейна - За 1 минуту работы второй и третий насосы наполняют \( y + z \) бассейна - За 1 минуту работы первый и третий насосы наполняют \( x + z \) бассейна Из условия задачи можно записать уравнения: 1. \( (x + y) \cdot 27 = 1 \) (за 27 минут первый и второй насосы заполняют бассейн) 2. \( (y + z) \cdot 9 = 1 \) (за 9 минут второй и третий насосы заполняют бассейн) 3. \( (x + z) \cdot 54 = 1 \) (за 54 минут первый и третий насосы заполняют бассейн) Нам нужно найти время, за которое все три насоса заполнят бассейн вместе, обозначим это время как \( t \). Мы знаем, что работая вместе, их скорости складываются: \[ (x + y + z) \cdot t = 1 \] Перепишем уравнения в систему для решения: \[ \begin{cases} 27(x + y) = 1 \\ 9(y + z) = 1 \\ 54(x + z) = 1 \\ t(x + y + z) = 1 \end{cases} \] Решим данную систему. Сначала найдем значения переменных \( x, y, z \), а затем найдем время \( t \). 1. Решение системы уравнений: Из первого и второго уравнений: \[ x = \frac{1}{27} - y \] \[ z = \frac{1}{9} - y \] Подставим в третье уравнение: \[ \left(\frac{1}{27} - y\right) + \left(\frac{1}{9} - y\right) = \frac{1}{54} \] \[ \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{3}{27} + \frac{9}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{12}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ \frac{2}{27} - 2y = \frac{1}{54} \] \[ 2y = \frac{2}{27} - \frac{1}{54} \] \[ 2y = \frac{4 - 1}{54} \] \[ 2y = \frac{3}{54} \] \[ 2y = \frac{1}{18} \] \[ y = \frac{1}{36} \] Найдем теперь \( x \) и \( z \): \[ x = \frac{1}{27} - \frac{1}{36} = \frac{4}{108} - \frac{3}{108} = \frac{1}{108} \] \[ z = \frac{1}{9} - \frac{1}{36} = \frac{4}{36} - \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] 2. Теперь найдем время, за которое все три насоса заполнят бассейн вместе: \[ t = \frac{1}{(x + y + z)} = \frac{1}{(\frac{1}{108} + \frac{1}{36} + \frac{1}{12})} = \frac{1}{\frac{12+36+108}{108}} = \frac{1}{\frac{156}{108}} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13} \] **Ответ:** Все три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за \( \frac{9}{13} \) минут.