Первый и второй насосы наполняют бассейн за 27 минут, второй и третий — за 9 минут, а первый и третий за 54 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая…

Решение:

Пусть скорость работы первого насоса равна \(x\), второго — \(y\) и третьего — \(z\) (в единицах работы за минуту).

Имеем три уравнения, которые описывают скорость работы насосов в различных комбинациях:

1. \((1)\) Первый и второй насосы наполняют бассейн за 27 минут: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{27}\)
2. \((2)\) Второй и третий насосы наполняют бассейн за 9 минут: \(\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{9}\)
3. \((3)\) Первый и третий насосы наполняют бассейн за 54 минуты: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{54}\)

Мы хотим найти время, за которое все три насоса будут заполнять бассейн, работая вместе, т.е. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{T}\), где \(T\) — время в минутах.

Сложим три уравнения \((1)\), \((2)\) и \((3)\), чтобы получить выражение для суммарной скорости:

\[\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) + \left(\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}\right) = \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{54} = \dfrac{6 + 18 + 1}{54} = \dfrac{25}{54}\]

Таким образом, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{25}{54}\)

Значит, \(\frac{1}{T} = \frac{25}{54}\), откуда \(T = \frac{54}{25} = 2.16\) минуты.

Ответ: Три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за 2.16 минуты.