Решение:
Пусть скорость работы первого насоса равна $x$, второго — $y$ и третьего — $z$ (в единицах работы за минуту).
Имеем три уравнения, которые описывают скорость работы насосов в различных комбинациях:
- $(1)$ Первый и второй насосы наполняют бассейн за 27 минут: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{27}$
- $(2)$ Второй и третий насосы наполняют бассейн за 9 минут: $\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{9}$
- $(3)$ Первый и третий насосы наполняют бассейн за 54 минуты: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{54}$
Мы хотим найти время, за которое все три насоса будут заполнять бассейн, работая вместе, т.е. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{T}$, где $T$ — время в минутах.
Сложим три уравнения $(1)$, $(2)$ и $(3)$, чтобы получить выражение для суммарной скорости:
$$\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) + \left(\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right) + \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}\right) = \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{54} = \dfrac{6 + 18 + 1}{54} = \dfrac{25}{54}$$
Таким образом, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{25}{54}$
Значит, $\frac{1}{T} = \frac{25}{54}$, откуда $T = \frac{54}{25} = 2.16$ минуты.
Ответ: Три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за 2.16 минуты.
