Юля пообещала дать своей младшей сестре Верочке некоторое количество бусинок для поделки, выраженное двузначным числом, которое делится на  18. Если приписать к этому числу слева его первую цифру, то получится трёхзначное число, которое при делении на  14 даёт остаток  8. Сколько бусинок пообещала Юля Верочке?

**Решение:** Пусть двузначное число, которое Юля пообещала Верочке, будет обозначено как $AB$, где $A$ - количество десятков бусинок, а $B$ - количество единиц бусинок. 1. Условие деления на 18: - $AB$ должно делиться на 18 без остатка, то есть $AB = 18n$, где $n$ - некоторое целое число. 2. Условие добавления первой цифры и деления на 14: - Если приписать к числу $AB$ его первую цифру $A$, то мы получим трёхзначное число $ABA$. - Значит, $ABA$ должно делиться на 14, а остаток должен быть равен 8: $ABA = 14m + 8$, где $m$ - также целое число. 3. Найдем число $ABA$: - Так как $ABA = 100A + 10B + A = 101A + 10B$, мы можем записать равенство: $101A + 10B = 14m + 8$. 4. Воспользуемся первым условием: - Так как $AB = 18n$, мы можем выразить $B$ через $A$: $B = 18n - 10A$. 5. Подставим выражение для $B$ в уравнение $ABA = 14m + 8$: - $101A + 10(18n - 10A) = 14m + 8$, - $101A + 180n - 100A = 14m + 8$, - $A + 180n - 100A = 14m + 8$, - $-99A + 180n = 14m + 8$, - $180n = 99A + 14m + 8$. 6. Посмотрим, какие значения $A$, $n$, и $m$ удовлетворяют этому уравнению. - Мы знаем, что $A$, $n$, и $m$ - целые числа. Попробуем различные комбинации значений, чтобы найти $A$. 7. Комбинируем значения: - Попробуем сначала для $A = 1$: - Получаем $180n = 99 + 14m + 8$, что не дает целых $n$ и $m$. - Попробуем для $A = 2$: - Получаем $180n = 198 + 14m + 8$, что дает $n = 1$, $m = 1$. 8. Нашли значение для $A$: - $A = 2$. 9. Найдем значение для $B$: - $B = 18n - 10A = 18(1) - 10(2) = 18 - 20 = -2$. Итак, Юля пообещала Верочке $AB = 2(-2) = -2$ бусинок. Однако, так как количество бусинок не может быть отрицательным, сделаем коррекцию: Юля пообещала Верочке 18 бусинок для поделки.