Реши уравнение
Решим уравнение \((x + 5)^2 = (2x + 7)^2\).
Шаг 1: Раскройте скобки
Первый шаг - раскрыть скобки для обоих квадратов.
\[ (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \]
\[ (2x + 7)^2 = 4x^2 + 28x + 49 \]
Шаг 2: Перенесите все выражения в одну часть уравнения
Теперь перенесём все выражения в одну часть уравнения, чтобы получить:
\[ x^2 + 10x + 25 = 4x^2 + 28x + 49 \]
Перенесём все члены на одну сторону:
\[ x^2 + 10x + 25 - 4x^2 - 28x - 49 = 0 \]
Шаг 3: Объединение и упрощение
Упрощаем уравнение, собрав подобные члены:
\[ -3x^2 - 18x - 24 = 0 \]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Разделим всё уравнение на -3, чтобы упростить уравнение:
\[ x^2 + 6x + 8 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Это стандартное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 8\).
Ищем корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Корни уравнения вычисляются по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения: \[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \]
Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
\[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Таким образом, решения уравнения \(x^2 + 6x + 8 = 0\) - это \(x = -2\) и \(x = -4\).
