Решим уравнение ((x + 5)^2 = (2x + 7)^2).
Шаг 1: Раскройте скобки
Первый шаг - раскрыть скобки для обоих квадратов.
[
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25
]
[
(2x + 7)^2 = 4x^2 + 28x + 49
]
Шаг 2: Перенесите все выражения в одну часть уравнения
Теперь перенесём все выражения в одну часть уравнения, чтобы получить:
[
x^2 + 10x + 25 = 4x^2 + 28x + 49
]
Перенесём все члены на одну сторону:
[
x^2 + 10x + 25 - 4x^2 - 28x - 49 = 0
]
Шаг 3: Объединение и упрощение
Упрощаем уравнение, собрав подобные члены:
[
-3x^2 - 18x - 24 = 0
]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Разделим всё уравнение на -3, чтобы упростить уравнение:
[
x^2 + 6x + 8 = 0
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Это стандартное квадратное уравнение вида (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = 6), (c = 8).
Ищем корни с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4
]
Корни уравнения вычисляются по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2}
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2
]
[
x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4
]
Таким образом, решения уравнения (x^2 + 6x + 8 = 0) - это (x = -2) и (x = -4).
