Вычислить

Давайте разберёмся с задачей 1056. **Задача 1056:** Найдём наибольшие из чисел \(x\) и \(y\), зная, что их разность равна 5, а сумма их обратных дробей равна \( \frac{1}{10} \). **Решение:** 1. **Запишем систему уравнений:** - \( x - y = 5 \) - \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \) 2. **Решим первое уравнение относительно одного из неизвестных:** \( x = y + 5 \) 3. **Подставим выражение для \(x\) во второе уравнение:** \[ \frac{1}{y + 5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \] 4. **Найдём общий знаменатель и приведём к общему виду:** \[ \frac{y + y + 5}{(y + 5)y} = \frac{1}{10} \] \[ \frac{2y + 5}{y^2 + 5y} = \frac{1}{10} \] 5. **Умножим обе стороны на \(10(y^2 + 5y)\) для избавления от дроби:** \[ 10(2y + 5) = y^2 + 5y \] 6. **Раскроем скобки и упростим уравнение:** \[ 20y + 50 = y^2 + 5y \] \[ y^2 + 5y - 20y - 50 = 0 \] \[ y^2 - 15y - 50 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение:** Используем дискриминант: \[ D = (-15)^2 - 4 \times 1 \times (-50) = 225 + 200 = 425 \] \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{425}}{2} \] \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{25 \times 17}}{2} \] \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{17}}{2} \] 8. **Находим \(x\):** - \(x = y + 5\) - Если \(y_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2}\), то \(x_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2} + 5 = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{2}\) - Если \(y_2 = \frac{15 - 5\sqrt{17}}{2}\), то \(x_2 = \frac{15 - 5\sqrt{17}}{2} + 5 = \frac{25 - 5\sqrt{17}}{2}\) Наибольшие из чисел \(x\) и \(y\) — это: - \(x_1 = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{2}\) и \(y_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2}\).