вычислить

Давайте разберёмся с задачей 1056.

Задача 1056:

Найдём наибольшие из чисел \(x\) и \(y\), зная, что их разность равна 5, а сумма их обратных дробей равна \( \frac{1}{10} \).

Решение:

1. Запишем систему уравнений:

   • \( x - y = 5 \)
   • \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \)

2. Решим первое уравнение относительно одного из неизвестных:

   \( x = y + 5 \)

3. Подставим выражение для \(x\) во второе уравнение:

   \[ \frac{1}{y + 5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \]

4. Найдём общий знаменатель и приведём к общему виду:

   \[ \frac{y + y + 5}{(y + 5)y} = \frac{1}{10} \]

   \[ \frac{2y + 5}{y^2 + 5y} = \frac{1}{10} \]

5. Умножим обе стороны на \(10(y^2 + 5y)\) для избавления от дроби:

   \[ 10(2y + 5) = y^2 + 5y \]

6. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   \[ 20y + 50 = y^2 + 5y \]

   \[ y^2 + 5y - 20y - 50 = 0 \]

   \[ y^2 - 15y - 50 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант:

   \[ D = (-15)^2 - 4 \times 1 \times (-50) = 225 + 200 = 425 \]

   \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{425}}{2} \]

   \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{25 \times 17}}{2} \]

   \[ y_{1,2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{17}}{2} \]

8. Находим \(x\):

   • \(x = y + 5\)

   • Если \(y_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2}\), то \(x_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2} + 5 = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{2}\)

   • Если \(y_2 = \frac{15 - 5\sqrt{17}}{2}\), то \(x_2 = \frac{15 - 5\sqrt{17}}{2} + 5 = \frac{25 - 5\sqrt{17}}{2}\)

Наибольшие из чисел \(x\) и \(y\) — это:

• \(x_1 = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{2}\) и \(y_1 = \frac{15 + 5\sqrt{17}}{2}\).