Решение:
Дано:
- Гипотенуза прямоугольного треугольника $c = 26$.
- Синус одного из острых углов $A$ равен $\sin A = \frac{12}{13}$.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть:
$$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
Подставим известные значения синуса и гипотенузы:
$$\frac{12}{13} = \frac{a}{26}$$
Теперь найдем противолежащий катет $a$:
Умножим обе стороны уравнения на 26:
$$12 = \frac{26a}{13}$$
Упростим:
$$26a = 12 \cdot 13$$
$$26a = 156$$
$$a = \frac{156}{26}$$
$$a = 6$$
Таким образом, противолежащий катет равен $a = 6$.
Теперь, чтобы найти второй катет, можем воспользоваться теоремой Пифагора. По теореме Пифагора:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Подставим известные значения:
$$6^2 + b^2 = 26^2$$
$$36 + b^2 = 676$$
$$b^2 = 640$$
$$b = \sqrt{640}$$
$$b = 8\sqrt{10}$$
Таким образом, второй катет равен $b = 8\sqrt{10}$.
Итак, катеты данного прямоугольного треугольника равны $a = 6$ и $b = 8\sqrt{10}$.
