Решить
Давайте решим каждое неравенство по отдельности:
\( x^2 - 16 \leq 0 \)
Решение:
\[ x^2 - 16 \leq 0 \Rightarrow x^2 \leq 16 \]
\( x^2 = 16 \) имеет решения \( x = 4 \) и \( x = -4 \).
Для \( x^2 \leq 16 \), решения находятся между значениями, когда \( x^2 = 16 \):
\[ -4 \leq x \leq 4 \]
\( 4x^2 - 9x + 7 > 0 \)
Решение:
Решаем квадратное неравенство:
Используем дискриминант \( D \) для определения корней:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31 \]
Поскольку \( D < 0 \), у квадратного уравнения нет действительных корней. Парабола направлена вверх (\( a = 4 > 0 \)), поэтому неравенство выполняется для всех \( x \).
\( \frac{1}{2} x^2 + 0.5x - 1 > 0 \)
Решение:
Умножим все неравенство на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ x^2 + x - 2 > 0 \]
Находим корни уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \):
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \]
Знаки на промежутках будут такие, поскольку это парабола, открытая вверх (\( a = 1 \)), то:
\((- \infty, -2) \cup (1, \infty)\)
Решение: \( \frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2} \)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
Умножим обе части на 6:
\[ 2(x + 3) > 3(3x + 4) \]
Раскроем скобки:
\[ 2x + 6 > 9x + 12 \]
Переносим всё в одну часть:
\[ 2x + 6 - 9x - 12 > 0 \Rightarrow -7x - 6 > 0 \]
Решаем относительно \( x \):
\[ -7x > 6 \Rightarrow x < -\frac{6}{7} \]
Таким образом, решение к этому неравенству: \( x < -\frac{6}{7} \).
Надеюсь, объяснение было полезным! Если есть вопросы, обращайся.
