№3 Периметр правильного треугольника описанного около окружности равен 30. Найдите периметр правильного шестиугольника вписанного в ту де окружность

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Дано:

1. Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 30.
2. Нужно найти периметр правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность.

Решение:

1. Понимание задачи:

   • Правильный треугольник, описанный около окружности, делит ее на три равных дуги. Это значит, что каждая сторона этого треугольника является касательной к окружности.
   • Шестиугольник вписан в ту же окружность, и его стороны касаются окружности.

2. Связь между правильным треугольником и окружностью:

   • Для правильного треугольника, описанного около окружности, периметр треугольника \( P_3 = 3a_3 \), где \( a_3 \) — сторона треугольника.
   • Дано, что \( P_3 = 30 \), следовательно, \( 3a_3 = 30 \).
   • Отсюда \( a_3 = 10 \).

3. Радиус окружности:

   • Радиус окружности, около которой описан треугольник, равен \( \frac{a_3}{\sqrt{3}} \) (для равносторонних треугольников). Подставив \( a_3 = 10 \), получаем: \[ R = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

4. Периметр правильного шестиугольника:

   • У правильного шестиугольника все стороны равны радиусу окружности, в которую он вписан.
   • Периметр правильного шестиугольника \( P_6 = 6a_6 \), где \( a_6 \) — сторона шестиугольника, равная радиусу той же окружности.
   • Следовательно, \( a_6 = R = \frac{10}{\sqrt{3}} \).

5. Вычисление периметра шестиугольника:

   • Подставим \( a_6 \) в формулу периметра шестиугольника: \[ P_6 = 6 \times \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \]
   • Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ P_6 = \frac{60 \sqrt{3}}{3} = 20 \sqrt{3} \]

Таким образом, периметр правильного шестиугольника равен \( 20 \sqrt{3} \).