№3 Периметр правильного треугольника описанного около окружности равен 30. Найдите периметр правильного шестиугольника вписанного в ту де окружность

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. ### Дано: 1. Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 30. 2. Нужно найти периметр правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. ### Решение: 1. **Понимание задачи:** - Правильный треугольник, описанный около окружности, делит ее на три равных дуги. Это значит, что каждая сторона этого треугольника является касательной к окружности. - Шестиугольник вписан в ту же окружность, и его стороны касаются окружности. 2. **Связь между правильным треугольником и окружностью:** - Для правильного треугольника, описанного около окружности, периметр треугольника \( P_3 = 3a_3 \), где \( a_3 \) — сторона треугольника. - Дано, что \( P_3 = 30 \), следовательно, \( 3a_3 = 30 \). - Отсюда \( a_3 = 10 \). 3. **Радиус окружности:** - Радиус окружности, около которой описан треугольник, равен \( \frac{a_3}{\sqrt{3}} \) (для равносторонних треугольников). Подставив \( a_3 = 10 \), получаем: \[ R = \frac{10}{\sqrt{3}} \] 4. **Периметр правильного шестиугольника:** - У правильного шестиугольника все стороны равны радиусу окружности, в которую он вписан. - Периметр правильного шестиугольника \( P_6 = 6a_6 \), где \( a_6 \) — сторона шестиугольника, равная радиусу той же окружности. - Следовательно, \( a_6 = R = \frac{10}{\sqrt{3}} \). 5. **Вычисление периметра шестиугольника:** - Подставим \( a_6 \) в формулу периметра шестиугольника: \[ P_6 = 6 \times \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \] - Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ P_6 = \frac{60 \sqrt{3}}{3} = 20 \sqrt{3} \] Таким образом, **периметр правильного шестиугольника** равен \( 20 \sqrt{3} \).