Дано:
- Радиус основания конуса, ( r = 2 ) см.
- Радиус сектора развёртки боковой поверхности конуса, ( R = 15 ) см.
- Расход краски на 1 квадратный сантиметр, ( \text{расход} = 2 ) г/см².
Для начала найдем площадь боковой поверхности конуса. Площадь сектора равна:
[ A_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} R l, ]
где ( l ) - длина дуги окружности с радиусом ( R ) и центральным углом ( 90^\circ ).
Центральный угол в секторе с прямым углом равен ( 90^\circ ), что составляет четверть окружности.
Таким образом, длина дуги окружности:
[ l = 2\pi R. ]
Подставляем значение радиуса ( R = 15 ) см:
[ l = 2\pi \times 15 = 30\pi \text{ см}. ]
Теперь находим площадь сектора:
[ A_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} \times 15 \times 30\pi = 225\pi \text{ см²}. ]
Однако нам нужно учесть, что боковая поверхность конуса - это не сектор, а развертка сектора. Развертка сектора представляет собой сектор окружности, который "развернут" в плоскость.
Площадь развертки сектора равна площади сектора, то есть ( 225\pi ) см².
Зная, что расход краски на 1 см² равен 2 г, мы можем найти общее количество краски, которое потребуется для покраски развертки:
[ \text{Количество краски} = \text{площадь развертки} \times \text{расход} = 225\pi \times 2 = 450\pi \text{ г} \approx 1413 \text{ г}. ]
Итак, для покраски данного конуса потребуется примерно 1413 г краски.
