. На рисунке изображена правильная треугольная пирамида. Её высота равна 8 3 8 3 , а сторона основания — 9 9 . Чему равен объём данной пирамиды?
Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нужно воспользоваться следующей формулой:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \]
Где:
- \( V \) - объем пирамиды
- \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды
- \( h \) - высота пирамиды
В данной задаче высота пирамиды равна \( \frac{8}{3} \), а сторона основания равна 9. Сначала найдем площадь основания треугольной пирамиды.
Для правильного треугольника известно, что его площадь равна:
\[ S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
Где:
- \( a \) - длина стороны треугольника
В нашем случае сторона треугольника (основания пирамиды) равна 9, поэтому:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81 \sqrt{3}}{4} \]
Теперь можем подставить все значения в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{81 \sqrt{3}}{4} \times \frac{8}{3} \]
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{81 \times 2 \times \sqrt{3}}{4} \]
\[ V = \frac{54 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} \]
Таким образом, объем данной пирамиды равен \( \frac{27 \sqrt{3}}{2} \) единиц^3.
