Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нужно воспользоваться следующей формулой:
[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h ]
Где:
- ( V ) - объем пирамиды
- ( S_{\text{осн}} ) - площадь основания пирамиды
- ( h ) - высота пирамиды
В данной задаче высота пирамиды равна ( \frac{8}{3} ), а сторона основания равна 9. Сначала найдем площадь основания треугольной пирамиды.
Для правильного треугольника известно, что его площадь равна:
[ S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]
Где:
- ( a ) - длина стороны треугольника
В нашем случае сторона треугольника (основания пирамиды) равна 9, поэтому:
[ S_{\text{осн}} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81 \sqrt{3}}{4} ]
Теперь можем подставить все значения в формулу для объема:
[ V = \frac{1}{3} \times \frac{81 \sqrt{3}}{4} \times \frac{8}{3} ]
[ V = \frac{1}{3} \times \frac{81 \times 2 \times \sqrt{3}}{4} ]
[ V = \frac{54 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} ]
Таким образом, объем данной пирамиды равен ( \frac{27 \sqrt{3}}{2} ) единиц^3.
