Реши задачу с картинки
Гипербола задана уравнением:
\[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \]
Чтобы понять свойства этой гиперболы, приведем уравнение к канонической форме гиперболы, которая имеет вид:
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Для этого делим все уравнение на 1:
\[ \frac{9x^2}{1} - \frac{64y^2}{1} = 1 \]
Теперь приведем к канонической форме, разделив на 9 для \(x^2\) и на 64 для \(y^2\):
\[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \]
Это уравнение теперь в виде:
\[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \]
Здесь:
- \( a^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow a = \frac{1}{3} \)
- \( b^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow b = \frac{1}{8} \)
Теперь вычислим основные элементы гиперболы:
Полуоси гиперболы:
- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( b = \frac{1}{8} \)
Фокальное расстояние \(c\):
Фокальное расстояние \(c\) для гиперболы определяется как:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Подставим значения:
\[ c = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} \]
\[ c = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \]
Фокусы \(F_1\) и \(F_2\):
- \( F_1 = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \)
- \( F_2 = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \)
Эксцентриситет \( e \): \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{73}}{24}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{73} \cdot \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{73}}{8} \]
Директрисы:
- Позиция директрису определяется как: \( x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{1/3}{\sqrt{73}/8} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \)
Асимптоты:
- Формулы асимптот для гиперболы \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] заданы как: \[ y = \pm\frac{b}{a}x \]
- Подставляем наши значения: \[ y = \pm\left(\frac{1/8}{1/3}\right)x = \pm\frac{3}{8}x \]
Итак, все основные характеристики гиперболы найдены.
