Реши задачу с картинки

Гипербола задана уравнением: \[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \] Чтобы понять свойства этой гиперболы, приведем уравнение к канонической форме гиперболы, которая имеет вид: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Для этого делим все уравнение на 1: \[ \frac{9x^2}{1} - \frac{64y^2}{1} = 1 \] Теперь приведем к канонической форме, разделив на 9 для \(x^2\) и на 64 для \(y^2\): \[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \] Это уравнение теперь в виде: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \] Здесь: - \( a^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow a = \frac{1}{3} \) - \( b^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow b = \frac{1}{8} \) Теперь вычислим основные элементы гиперболы: 1. **Полуоси гиперболы**: - \( a = \frac{1}{3} \) - \( b = \frac{1}{8} \) 2. **Фокальное расстояние \(c\)**: Фокальное расстояние \(c\) для гиперболы определяется как: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим значения: \[ c = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} \] \[ c = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \] 3. **Фокусы \(F_1\) и \(F_2\)**: - \( F_1 = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \) - \( F_2 = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \) 4. **Эксцентриситет \( e \)**: \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{73}}{24}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{73} \cdot \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{73}}{8} \] 5. **Директрисы**: - Позиция директрису определяется как: \( x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{1/3}{\sqrt{73}/8} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \) 6. **Асимптоты**: - Формулы асимптот для гиперболы \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] заданы как: \[ y = \pm\frac{b}{a}x \] - Подставляем наши значения: \[ y = \pm\left(\frac{1/8}{1/3}\right)x = \pm\frac{3}{8}x \] Итак, все основные характеристики гиперболы найдены.