2cos^2 x-3 √2cos x+ 2 = 0

Для решения данного уравнения \(2\cos^2 x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0\) можно воспользоваться методом замены и решением квадратного уравнения. 1. **Замена:** Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение становится: \[ 2y^2 - 3\sqrt{2}y + 2 = 0 \] 2. **Решение квадратного уравнения:** Это уравнение имеет вид \( ay^2 + by + c = 0 \), где \( a = 2 \), \( b = -3\sqrt{2} \), \( c = 2 \). Найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2 \] Находим корни уравнения: \[ y_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4} \] \[ y_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \] \[ y_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 3. **Проверка допустимости значений:** Корень \( y = \sqrt{2} \) невозможен, так как \( \cos x \) изменяется в пределах от -1 до 1. Таким образом, нам подходит только \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 4. **Нахождение значений \( x \):** \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Из базовых знаний тригонометрии известно, что \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число. 5. **Поиск решений на отрезке \([-8; -4]\):** Преобразуем уравнения в радианах в градусы для удобства: \[ \frac{\pi}{4} \approx 45^\circ, \quad \frac{7\pi}{4} \approx 315^\circ \] Определим решения на данном отрезке: - Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \): \(-8 \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -4\). Подставляя различные целые значения \( k \), проверяем, какие значения находятся в данном интервале. - Для \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \): \(-8 \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \leq -4\). Аналогично проверяем значения \( k \). Таким образом, только значения \( x \) из второго случая (и только для некоторых \( k \)) будут принадлежать отрезку \([-8; -4]\). В данном промежутке систематически подбираем \( k \) в обоих уравнениях, чтобы получить конкретные значения, например: - Для второго уравнения, если \( k = -1 \), то: - \( x = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 \), - стоит проверить сопоставление градусов, интервалу в градусах \([-180, -216]\). Конкретные решения зависят от точного подбора значения \( k \) в представленных уравнениях.