2cos^2 x-3 √2cos x+ 2 = 0
Для решения данного уравнения \(2\cos^2 x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0\) можно воспользоваться методом замены и решением квадратного уравнения.
Замена:
Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение становится: \[ 2y^2 - 3\sqrt{2}y + 2 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Это уравнение имеет вид \( ay^2 + by + c = 0 \), где \( a = 2 \), \( b = -3\sqrt{2} \), \( c = 2 \).
Найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2 \]
Находим корни уравнения: \[ y_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4} \]
\[ y_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \]
\[ y_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Проверка допустимости значений:
Корень \( y = \sqrt{2} \) невозможен, так как \( \cos x \) изменяется в пределах от -1 до 1.
Таким образом, нам подходит только \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Нахождение значений \( x \):
\[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Из базовых знаний тригонометрии известно, что \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
Поиск решений на отрезке \([-8; -4]\):
Преобразуем уравнения в радианах в градусы для удобства:
\[ \frac{\pi}{4} \approx 45^\circ, \quad \frac{7\pi}{4} \approx 315^\circ \]
Определим решения на данном отрезке:
Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \):
\(-8 \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -4\).
Подставляя различные целые значения \( k \), проверяем, какие значения находятся в данном интервале.
Для \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \):
\(-8 \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \leq -4\).
Аналогично проверяем значения \( k \).
Таким образом, только значения \( x \) из второго случая (и только для некоторых \( k \)) будут принадлежать отрезку \([-8; -4]\). В данном промежутке систематически подбираем \( k \) в обоих уравнениях, чтобы получить конкретные значения, например:
- Для второго уравнения, если \( k = -1 \), то:
- \( x = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 \),
- стоит проверить сопоставление градусов, интервалу в градусах \([-180, -216]\).
Конкретные решения зависят от точного подбора значения \( k \) в представленных уравнениях.
