Дано: равнобедренный треугольник ACB, BМ-высота (проведённая из угла B к середине AC), АМ=МС, ∠С=52°. Найти: ∠АВМ

Для решения этой задачи определим несколько вспомогательных утверждений:

1. В равнобедренном треугольнике ACB (где AC=BC) высота BM проведена к основанию AC из угла B, значит, треугольники ABM и CBM равны по двум сторонам и углу, следовательно, они равны в целом.
2. Поскольку AM=MC, треугольник ABC также равносторонний (равносторонний треугольник имеет равные стороны и углы).
3. Так как треугольник ABC равносторонний, все его углы равны 60°.

Теперь перейдем к нахождению угла ∠АВМ.

Поскольку треугольник ABM равен треугольнику CBM, у них также находятся равные углы на основании утверждения о равенстве треугольников. Таким образом, ∠ABM=∠CBM.

Также, в равностороннем треугольнике ABC мы знаем, что ∠BAC=∠BCA=60°.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Учитывая, что ∠BAM=∠BCM (из равенства треугольников) и углы ∠BAM и ∠BCM общие для треугольников ABM и BCM, следовательно, ∠ABM=∠CBM.

Таким образом, ∠ABM=∠CBM=∠BAM=∠BCM. Поскольку ∠BAC=60° в равностороннем треугольнике, ∠BAM=∠ABM=∠BCM=60°.

Итак, угол ∠АВМ равен 60°.