Две окружности имеют общую хорду. Докажите, что она перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры.

Для доказательства того, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры, мы воспользуемся свойством перпендикулярности хорд к радиусам, проведенным к их касательным точкам.

Пусть даны две окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \) и общей хордой \( AB \). Обозначим центры окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \), а также точки касания хорды \( AB \) с окружностями как \( M_1, M_2, N_1 \) и \( N_2 \) соответственно.

Для начала построим радиусы \( O_1M_1 \) и \( O_2M_2 \), а также касательные \( AM_1 \), \( BM_1 \), \( AM_2 \) и \( BM_2 \) (см. рисунок).

\[ \begin{array}{l} \angle AOM_1 = 90^\circ \quad \text{(Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания)} \\ \angle BOM_1 = 90^\circ \quad \text{(Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания)} \\ \angle AOM_2 = 90^\circ \quad \text{(Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания)} \\ \angle BOM_2 = 90^\circ \quad \text{(Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания)} \end{array} \]

Таким образом, четыре треугольника \( \triangle O_1AM_1 \), \( \triangle O_1BM_1 \), \( \triangle O_2AM_2 \) и \( \triangle O_2BM_2 \) являются прямоугольными.

Посмотрим на треугольники \( \triangle O_1AN_1 \) и \( \triangle O_1BM_1 \). Из правильности построения видим, что они подобны (по двум углам), так же как и треугольники \( \triangle O_2AN_2 \) и \( \triangle O_2BM_2 \).

Таким образом, получаем:

\[ \begin{array}{l} \angle O_1AN_1 = \angle O_1BM_1 \quad (\text{По подобности треугольников}) \\ \angle O_2AN_2 = \angle O_2BM_2 \quad (\text{По подобности треугольников}) \end{array} \]

Но также из построения очевидно, что:

\[ \begin{array}{l} \angle O_1AN_1 = 90 - \angle O_1AM_1 = 90 - \angle O_1BM_1 \quad (\text{По свойству угла в полукруге}) \\ \angle O_2AN_2 = 90 - \angle O_2AM_2 = 90 - \angle O_2BM_2 \quad (\text{По свойству угла в полукруге}) \end{array} \]

Таким образом, получаем:

\[ \angle O_1BM_1 = \angle O_1AN_1 = \angle O_2AN_2 = \angle O_2BM_2 \]

Из этих равенств следует, что прямые \( O_1O_2 \) и \( AB \) перпендикулярны друг другу. Таким образом, было доказано, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна к прямой, на которой лежат их центры.