Найдите такие положительные числа а, в и с, чтобы их произведение было наибольшим, если a+b+c=12 произведение этих чисел. И a:b 2:3. В ответе запишите произведение этих чисел

Решение:

Дано:

• \(a+b+c=12\)
• \(a:b=2:3\)

Пусть \(a=2x\) и \(b=3x\), где \(x\) - некоторое положительное число.

Так как \(a+b+c=12\), то \(c=12-a-b=12-2x-3x=12-5x\).

Теперь найдем произведение этих чисел:

\[abc = (2x)(3x)(12-5x) = 6x^2(12-5x)\]

Для нахождения максимального произведения необходимо найти значение \(x\), при котором выражение \(6x^2(12-5x)\) будет максимальным.

Для этого продифференцируем выражение и приравняем производную к нулю:

\[\frac{d}{dx}\left(6x^2(12-5x)\right) = 72x - 30x^2 = 0\] \[30x(2-x) = 0\]

Откуда получаем \(x=0\) или \(x=2\) (так как \(x\) - положительное число, то \(x=0\) не подходит).

Таким образом, \(x=2\). Теперь найдем \(a, b\) и \(c\):

• \(a=2x=2\cdot2=4\)
• \(b=3x=3\cdot2=6\)
• \(c=12-5x=12-5\cdot2=2\)

Итак, \(a=4\), \(b=6\) и \(c=2\). Теперь найдем произведение этих чисел:

\[abc = 4\cdot6\cdot2 = 48\]

Ответ: Произведение чисел \(a\), \(b\) и \(c\), при котором оно наибольшее, равно 48.