Найдите такие положительные числа а, в и с, чтобы их произведение было наибольшим, если a+b+c=12 произведение этих чисел. И a:b 2:3. В ответе запишите произведение этих чисел

**Решение:** Дано: - $a+b+c=12$ - $a:b=2:3$ Пусть $a=2x$ и $b=3x$, где $x$ - некоторое положительное число. Так как $a+b+c=12$, то $c=12-a-b=12-2x-3x=12-5x$. Теперь найдем произведение этих чисел: $$abc = (2x)(3x)(12-5x) = 6x^2(12-5x)$$ Для нахождения максимального произведения необходимо найти значение $x$, при котором выражение $6x^2(12-5x)$ будет максимальным. Для этого продифференцируем выражение и приравняем производную к нулю: $$\frac{d}{dx}\left(6x^2(12-5x)\right) = 72x - 30x^2 = 0$$ $$30x(2-x) = 0$$ Откуда получаем $x=0$ или $x=2$ (так как $x$ - положительное число, то $x=0$ не подходит). Таким образом, $x=2$. Теперь найдем $a, b$ и $c$: - $a=2x=2\cdot2=4$ - $b=3x=3\cdot2=6$ - $c=12-5x=12-5\cdot2=2$ Итак, $a=4$, $b=6$ и $c=2$. Теперь найдем произведение этих чисел: $$abc = 4\cdot6\cdot2 = 48$$ **Ответ:** Произведение чисел $a$, $b$ и $c$, при котором оно наибольшее, равно 48.