Петя выписал на доску пять натуральных (не обязательно различа ных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 73, 90 и 107.…

Решение:

Пусть наши пять натуральных чисел обозначены как \(a, b, c, d, e\).

Из условия задачи у нас получаются следующие уравнения сумм:

• \(a + b = 73\)
• \(a + c = 90\)
• \(a + d = 107\)

Теперь проанализируем полученные уравнения. Если мы сложим все три уравнения, мы получим: \(3a + (b + c + d) = 270\)

Так как мы ищем наибольшее число на доске, то наибольшим из написанных на доске чисел будет числа, наибольшее различие, т.е. \(a\) + max(\(b, c, d\))

Заметим, что сумма \(b + c + d\) — это то, что осталось после вычитания \(a\) из суммы в левой части уравнения.

Таким образом, наибольшее число на доске будет равно \(a\) + (сумме, оставшейся после вычитания \(a\) из суммы \(270\)), что равно \(270 - a\).

Теперь нам нужно найти максимальное значение \(270 - a\). Для этого мы должны найти минимальное значение \(a\) из чисел, которые можно составить из сумм 73, 90 и 107 и таким образом определить максимальное значение числа \(270 - a\).

Сначала найдем это минимальное значение \(a\):

1. \(a + b = 73\)
2. \(a + b = 90\)
3. \(a + b = 107\)

Сравнивая полученные суммы, видим, что \(a = 37\).

Теперь, наибольшее число на доске равно \(270 - a = 270 - 37 = 233\).

Ответ: Наибольшее число на доске равно 233.