Петя выписал на доску пять натуральных (не обязательно различа ных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 73, 90 и 107. Чему равно наибольшее из написанных на доске чисел?

**Решение:** Пусть наши пять натуральных чисел обозначены как $a, b, c, d, e$. Из условия задачи у нас получаются следующие уравнения сумм: - $a + b = 73$ - $a + c = 90$ - $a + d = 107$ Теперь проанализируем полученные уравнения. Если мы сложим все три уравнения, мы получим: $3a + (b + c + d) = 270$ Так как мы ищем наибольшее число на доске, то наибольшим из написанных на доске чисел будет числа, наибольшее различие, т.е. $a$ + max($b, c, d$) Заметим, что сумма $b + c + d$ — это то, что осталось после вычитания $a$ из суммы в левой части уравнения. Таким образом, наибольшее число на доске будет равно $a$ + (сумме, оставшейся после вычитания $a$ из суммы $270$), что равно $270 - a$. Теперь нам нужно найти максимальное значение $270 - a$. Для этого мы должны найти минимальное значение $a$ из чисел, которые можно составить из сумм 73, 90 и 107 и таким образом определить максимальное значение числа $270 - a$. Сначала найдем это минимальное значение $a$: 1. $a + b = 73$ 2. $a + b = 90$ 3. $a + b = 107$ Сравнивая полученные суммы, видим, что $a = 37$. Теперь, наибольшее число на доске равно $270 - a = 270 - 37 = 233$. **Ответ:** Наибольшее число на доске равно 233.