) Через тоцку окружности с чентром в тоцке радиуса проведены касательная и хорда , угол между которыми . Найдите длину (рис. 1).

Дано:

• Окружность с центром в точке O
• Радиус окружности равен r
• Проведена касательная AB и хорда CD
• Угол между касательной и хордой равен α

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться свойствами окружностей и треугольников.

1. Начнем с утверждения, что угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, образуемому хордой и хордой, проведенной из той же точки касания (теорема об угле между касательной и хордой).
   Таким образом, у нас получается, что угол ABC равен углу ADC.

2. Рассмотрим треугольник AOC.
   Так как OA - радиус окружности, то угол OAC равен 90 градусам (угол между радиусом и касательной).
   Аналогично, угол AOC также равен 90 градусам, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.

3. Теперь мы имеем угол AOC, который мы можем представить как сумму углов AOC и ADC:
   Угол AOC = угол OAC + угол ADC
   90 градусов = 90 градусов + угол ADC
   Угол ADC = 90 градусов

Таким образом, угол ADC равен 90 градусов. Это значит, что треугольник ACD - прямоугольный. Мы знаем, что CD равна диаметру окружности, так как это хорда, проходящая через центр, и, следовательно, равна удвоенному радиусу:
CD = 2r

Из прямоугольного треугольника ACD мы можем применить теорему Пифагора:
AC^2 + CD^2 = AD^2
AC^2 + (2r)^2 = (AC + r)^2
AC^2 + 4r^2 = AC^2 + 2ACr + r^2
3r^2 = 2ACr
AC = 3r / 2

Таким образом, длина AC равна 3/2 * r.